Demostración propiedades de Logaritmos

Historia.-

  Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta los estudios de Arquímedes referidos a la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. 

  Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses, Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos (mediante la utilización de las fórmulas del seno y del coseno de la suma de dos ángulos). Este recurso de cálculo sirvió probablemente de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper, en la deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. 

  Con las palabras del propio Napier: "... viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas de números muy grandes... he trabajado arduamente en resolver esos problemas..."

  Fue así como pasó veinte años obteniendo exponenciales de diversas funciones trigonométricas ya que se empleaban mucho en cálculos astronómicos. Este proceso hizo que llamara a esos números "logaritmos" (que quiere decir "números proporcionados"), palabra con que todavía hoy se los conoce.

  El descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler.

  Un admirador de Napier, Henry Briggs (quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10), en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los logaritmos:

  "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."  

Demostraciones.-

Las propiedades de los Logaritmos se demuestran a partir de la relación que existe con la Potencia, al igual que las raíces enésimas:

   \( \log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\ \)

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

1.- El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores.

Demostraremos  que \(\log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y.\)

Si \(\log_a \enspace x= t.\) Por definición de logaritmo \(a^t=x .\)  (1)
Si \(\log_a \enspace y= z.\) Por definición de logaritmo \(a^z=y. \)  (2)
Multiplicando estas dos igualdades tenemos que \(:a^t \cdot a^z =x \cdot y = a^{t+z}\)
Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
\(\log_a \enspace a^{t+z} =\log_a \enspace x \cdot y\)
Por definición de logaritmo. \(\log_a \enspace a^{t+z}= t+z= \log_a \enspace x \cdot y\)
Ahora, consideremos (1) y (2):
\(\log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y. \)


2.- El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logaritmos de cada uno de los números

Demostraremos que \(\log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.\)

Si \(\log_a \enspace x= t.\) Por definición de logaritmo \(a^t=x. \)  (3)
Si \(\log_a \enspace y= z.\) Por definición de logaritmo\( a^z=y.\)  (4)
Dividiendo estas dos igualdades tenemos que \(:\dfrac{a^t}{a^z} =\dfrac{x}{y} = a^{t-z}\)
Tomando logaritmos en base a a ambos lados:
\(\log_a \enspace a^{t-z} =\log_a \enspace \dfrac{x}{y}\)
Por definición de logaritmo. \(\log_a \enspace a^{t-z}= t-z= \log_a \enspace \dfrac{x}{y}\)
Ahora, consideremos  (3) y (4):
\(\log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.\)


3.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base

Demostraremos  que \(\log_a x^n= n \cdot \log_a x\)
Se demuestra usando la primera propiedad.
\(\log_a x^n=\log_a \enspace \left (x \cdot x\cdot x........x \right )\) n veces

Aplicando la primera propiedad esto es igual a:
\(\log_a x + \log_a x + \log_a x+ ........+\log_a x\) n veces
\(n \cdot \log_a x\)

4.- El logaritmo de un radical es igual al cociente en tre el logaritmo del radicando y el índice

Demostraremos que \(\log_a \enspace \sqrt[n]{x}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x\)
Es sencillo utilizando la propiedad de la potencia (3).
Usando el radical como un exponente fraccionario y aplicando la propiedad (3) tenemos que:
\(\log_a \enspace \sqrt[n]{x}=\log_a \enspace x^{\frac{1}{n}}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x \)

 Eso es todo, espero les guste esta publicación.