||||| Matemática LaTeX: Demostración Teorema de Euclides y su aplicación

viernes, 8 de agosto de 2014

Demostración Teorema de Euclides y su aplicación


 La  demostración  de  teoremas  geométricos,  en  general,  es  un  desafío  para  los  estudiantes  de enseñanza  media,  ya  que  deben  establecer  relaciones  con  otros  conocimientos  y  teoremas,  para  posteriormente  en  una  cadena  lógica  de  argumentos  llegar a demostrar nuevas proposiciones.  A raíz de esto, trabajar con visualizaciones es  un  buen  recurso  para  facilitar  la  comprensión  en los  estudiantes.

      Entre los aprendizajes esperados  de geometría para este nivel, existe una fuerte carga  hacia  la demostración  de  teoremas,  entre  ellos  el  de  Euclides. En  este  caso  los  estudiantes  deben  establecer  conexión  con  conocimientos  previos  tales  como  la  semejanza  de  triángulos  y  el  teorema  de  Thales.  Justamente  el  desafío  está  en  que  recuerden y puedan aplicar dichos conocimientos, de lo contrario la demostración pierde  sentido.

      Para un buen  desempeño  de  los  estudiantes,  la  actividad  supone  que  ellos  ya  han  establecido  el  teorema  particular  de  Thales (o  teorema  fundamental  de  semejanza),  deben  haber  trabajado  con  relaciones  proporcionales  y  tener  claridad  respecto  de los  elementos  del  triángulo  rectángulo,  en  particular la  altura  y  las  proyecciones  de  los  catetos sobre la hipotenusa.



1. Conocimientos Previos.

1.1 Suma de los ángulos interiores de un triángulo:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
Se traza una paralela a la base por el vértice opuesto.
El ángulo a’ = a, se dicen alternos internos. El ángulo c’ = c por el mismo motivo.
              a’ + b’ + c’ = 180°
Por lo tanto:
              a + b + c = 180°



1.2 Triángulo rectángulo:
Definición: En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

1.3 Teorema de Pitágoras:
Definición: El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes   \(a\)  y  \(b\), y la medida de la hipotenusa es \(c\) , se establece que:
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$


1.4 Triángulos semejantes:
Definición: Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma, sus ángulos correspondientes son congruentes, sus lados proporcionales pero con distinta medida.

Notación:  ~




Sea   \(< CAB= <C´A´B´\),
\(< ABC= <A´B´C´\) y \(< BCA= <B´C´A´\)  y además


\(\dfrac {\overline {AB}} {A´B´}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}=\dfrac {\overline {CA}} {\overline {C´A´}}\)
 entonces se puede decir que:

\(\Delta ABC\sim \Delta A´B´C´\)


1.4.1 Criterios de Semejanza de Triángulos:
Para saber si dos triángulos son semejantes utilizamos algunos de los criterios de semejanza:

Criterio 1: “Ángulo – Ángulo” (AA)
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos de sus ángulos respectivamente congruentes.


Hipótesis: \(<CAB = <C´A´B´\)
Tesis: \(\Delta ABC\sim \Delta A´B´C´\)

Demostración:
Se traza el segmento \(\overline {MN}\) tal que:
\(\overline {MN}\parallel \overline {AB}\)
Formádose el  \(\Delta CMN\).

Luego en el  \(\Delta MNC\)  y \(\Delta A´B´C´\):

\(\overline {CM} = \overline {C´A´}\)       / Por construcción
\(< BCA = < B´C´A´\)                              / Por hipótesis
\(< CMN = < CAB\)              / Ángulos correspondientes entre \(\overline {MN}\parallel \overline {AB}\)  
\(< CAB = < C´A´B´\)             / Por hipótesis

Por lo tanto,  \(< CMN = < C´A´B´\)        / Por transitividad

Por lo tanto, \(\Delta MNC\) = \(\Delta A´B´C´\)        (1) por tener un lado congruente y los dos ángulos adyacentes.

como \(\Delta ABC \sim \) \(\Delta MNC\)       (2) Teorema fundamental de existencia

Comparando (1) y (2), tenemos:

\(\Delta ABC  \sim  \) \(\Delta A´B´C´\)



Criterio 2: “Lado – ángulo – lado” (LAL)
Dos triángulos son semejantes cuando tienen,  respectivamente dos de sus lados proporcionales y el ángulo formado por ellos congruentes.

Hipótesis: Sea \(\Delta ABC\) = \(\Delta A´B´C´\).
             \(< BCA = < B´C´A´\)
 \(\dfrac {\overline {AC}} {A´C´}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}\)

Tesis: \(\Delta ABC \sim  \)\(\Delta A´B´C´\)

Demostración:  Tomando \(\overline {CM}=\overline {C´A´}\)  y tracemos \(\overleftrightarrow {MN}\parallel \overleftrightarrow {AB}\), formádonse el \(\Delta MNC\).

En  \(\Delta MNC\) y \(\Delta A´B´C´\):

 \(\overline {CM}=\overline {C´A´}\)          / (1) por construcción.
<BCA = <B´C´A´                                       / por hipotesis

En los \(\Delta ABC\) y \(\Delta MNC\)

\(\dfrac {\overline {AC}} {MC}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {NC}}\)     / (2) por construccion \(\overline {CM}=\overline {C´A´}\)

Sustituyendo (1) en  (2), tenemos lo  siguiente:

\(\dfrac {\overline {AC}} {A´C´}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {NC}}\)     / (3)

pero como: \(\dfrac {\overline {AC}} {A´C´}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}\)    / (4) Hipotesis

Comparando (3) y (4):

\(\dfrac {\overline {BC}} {NC}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}\)     / por Transitividad

Despejando  \(\overline {NC}=\dfrac {\overline {BC}.\overline {B´C´}} {\overline {BC}}\)

  \(\overline {NC}=\overline {B´C´}\)

\(.:\Delta MNC  =  \Delta A´B´C´\)   / por tener dos lados congruentes e igual ángulo comprendido.

Y como \(\Delta ABC \sim \Delta MNC\)    / teorema fundamental de existencia

y \(\Delta MNC \sim \Delta A´B´C´\)            /carácter idéntico.

Resulta  \(\Delta ABC \sim \Delta A´B´C´\)     /por transitividad.


Criterio 3: “Lado – lado - lado” (LLL)
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados, respectivamente, proporcionales.


Hipótesis: Sean \(\Delta ABC\) y  \(\Delta A´B´C´\)

\(\dfrac {\overline {AB}} {\overline {A´B´}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}=\dfrac {\overline {CA}} {\overline {C´A´}}\)

Tesis:  \(\Delta ABC \sim \Delta A´B´C´\) 

Demostración: Tomando \(\overline {CM}=\overline {C´A´}\) y tracemos  \(\overleftrightarrow {MN}\parallel \overleftrightarrow {AB}\), formando  \(\Delta MNC \sim \Delta ABC\) 

Como: \(\dfrac {\overline {AB}} {\overline {MN}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {NC}}=\dfrac {\overline {CA}} {\overline {CM}}\)     / (1) por construcion \(\Delta ABC \sim \Delta MNC\) 

Pero: \(\overline {CM}=\overline {C´A´}\)   / (2) por construccion

Sustituyendo (2) en (1);

\(\dfrac {\overline {AB}} {\overline {MN}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {NC}}=\dfrac {\overline {CA}} {\overline {C´A´}}\)   / (3)

Pero:

\(\dfrac {\overline {AB}} {\overline {A´B´}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}=\dfrac {\overline {CA}} {\overline {C´A´}}\)    / (4) por hipotesis

Comparando (3) y (4):

 \(\dfrac {\overline {AB}} {\overline {MN}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {NC}}=\dfrac {\overline {AB}} {\overline {A´B´}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}\)   / por transitividad


 Despejando \(\overline {MN}\):   \(\overline {MN}=\dfrac {\overline {AB}.\overline {A´M´}} {\overline {AB}}\)

  \(\overline {MN}=\overline {A´B´}\)

 Tomando la 3era y la 4ta razón:

\(\dfrac {\overline {BC}} {\overline {NC}}=\dfrac {\overline {BC}} {\overline {B´C´}}\)


 Despejando:  \(\overline {NC}\):   \(\overline {NC}=\dfrac {\overline {BC}.\overline {B´C´}} {\overline {BC}}\)

 \(\overline {NC}=\overline {B´C´}\)

 Entonces  \(\overline {MN}=\overline {A´B´}\),  \(\overline {NC}=\overline {B´C´}\) y \(\overline {CM}=\overline {A´C´}\)    / Por construccion
\(.:\Delta MNC  =  \Delta A´B´C´\)    / Por tener 3 lados congruentes.
y como \(\Delta ABC \sim \Delta MNC\)  /Por teorema fundamental.
y  \(\Delta MNC \sim \Delta A´B´C´\)

Resulta que el  \(\Delta ABC \sim \Delta A´B´C´\)


2.0 Teoremas de Euclides

Para estudiar las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos, es indispensable tener el concepto de proyección.

Definición: Se llama proyección de un punto P sobre una recta L, al pie P’ de la perpendicular bajada desde P a L.

La perpendicular PP’ se llama proyectante.
La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento A’B’, cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre L.
En la siguiente figura se representan las distintas proyecciones relativas de un segmento AB sobre una recta.

En ella podemos observar que si el segmento AB es paralelo a la recta, su proyección es igual a él. Si AB es perpendicular a la recta (último caso), la proyección se reduce a un punto A’ o B’.


Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se verifica que:

  Los triángulos rectángulos resultantes son semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado.




\(\Delta ADC \sim \Delta BDC \sim \Delta ACB\)



2.1 Teorema de Euclides referente a la altura.
La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de la hipotenusa



                            Se cumple:                \(CD^{2}=AD\cdot BD\)

Demostración:

<ACD = <CBD
<CAD = <BCD

 \(\Delta CBD  \sim \Delta ACD \Rightarrow \dfrac {CD} {AD}=\dfrac {DB} {DC} \Rightarrow \dfrac {h} {q}=\dfrac {p} {h} \Rightarrow h^{2}=pq\)





2.2 Teorema de Euclides referente al cateto.
 Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.



Se cumple: \(AC^{2}=AB\cdot AD\)


 


Demostración:

<ACB = <ADC = 90°
<CAB = <DAC


 Por criterio AA se tiene que:

 \(\Delta ABC  \sim \Delta ACD \Rightarrow \dfrac {AC} {AD}=\dfrac {AB} {AC} \Rightarrow \dfrac {b} {q}=\dfrac {c} {b} \Rightarrow b^{2}=qc\)





 
 Se cumple que: \(BC^{2}=AB\cdot BD\)






Desmostración:


<ACB = <CDB = 90°
<CBA = <DBC


 Por el Criterio AA se tiene que:

  \(\Delta ABC  \sim \Delta CBD \Rightarrow \dfrac {BC} {BD}=\dfrac {AB} {CB} \Rightarrow \dfrac {a} {p}=\dfrac {c} {a} \Rightarrow a^{2}=pc\)

 3.0 Aplicación.

Este teorema se aplicaba para calcular alturas (árbol, montañas, edificios) cuando no existía el teodolito y fue base para la trigonometría. Siempre que se hallaba un obstáculo (río, quebradas, precipicios, montañas) y había que medir una distancia se utilizaban estas herramientas.

Euclides era capaz de dar aplicaciones prácticas a la geometría. Una vez, solicitaron a sus colegas de la Universidad de Alejandría que midieran la altura de la Gran Pirámide. Siendo imposible bajar una línea desde el ápice para medir la altura, quedaron perplejos. Empero Euclides ofreció una sencilla solución
geométrica.

Esperó hasta que llegara la hora del día en que su sombra midiera exactamente lo mismo que su estatura. Luego, midió la sombra de la pirámide y así determinó la altura de ésta.

 Euclides, aplicó la semejanza de triágulos en el cálculo de distancias o alturas anaccesibles.


En fin, hay muchas utilidades que se le puede otorgar el teorema de Euclides.

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