||||| Matemática LaTeX: Demostración fórmula general ecuación cuadrática

09 agosto 2014

Demostración fórmula general ecuación cuadrática


Seguramente te has preguntado de dónde surge la fórmula general de la ecuación cuadrática:


\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Es la famosa fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma \(ax^{2} + bx + c\) igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero. En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden.

Demostración:

\(ax^{2} + bx + c=0\)

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨.

\(\frac{ax^{2}}{a} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Al simplicar, quedará así;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Luego;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\)

El siguiente paso es sumar en ambos miembros \(\frac{b^{2}}{4a^{2}}\) con el fin de completar cuandrados.

\(x^{2} + \frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} = \frac{b^{2}}{4a^{2}}- \frac{c}{a}\)

Después de amplificar las fracciones podemos representar la ecuación de la siguiente forma;

\( (x + \frac{b}{2a})^{2}=    \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}                \)

Extrayendo raíz cuadrada resulta;

\( x + \frac{b}{2a}=   \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}       \)

Luego llegamos a la fórmula que todo profesor de matemática enseña:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Traté de explicar los pasos de la forma más sencilla posible. Hay otros pasos u otros caminos que se pudo haber considerado para la demostración, pero eso ya es tarea de usted ;)
Gracias por su visita.

9 comentarios:

  1. Muy bueno, me ayudó con una tarea :)!

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  2. Que bueno, me alegra mucho. Saludos!

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  3. Gracias estuvo muy bien , mi profesor tamb la apoda ''La podoresa''

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    1. JAjajaj...tiene mucha utilidad para los problemas de ecuaciones cuadráticas.

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  4. ¿Tengo una duda, porque se le suma (b^2)/(4a^2)?¿De donde sale?

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  5. No formule bien mi pregunta, podrias explicar el proceso del trinomio cuadrado para que te salga (b^2)/(4a^2) a partir de x^2 + b/a x , por favor, lo agradecería mucho

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    1. Estimado Yesos. Bienvenido y con gusto te respondo.
      La "completación de cuadrados" es una técnica o estrategia para resolver ecuaciones de segundo grado. Recuerda que una ecuación de segundo grado debe tener la forma \(ax^{2} + bx + c=0\). Es por eso, que en esta demostración la utilizamos a modo de conveniencia matemática.
      Ademas, te dejo un enlace donde podrás hacer estudio de la completación de cuadrados, Aquí .

      Saludos cordiales...si sigues con duda, vuelve a escribirme.

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