||||| Matemática LaTeX: Demostración Teorema de Pitágoras

09 agosto 2014

Demostración Teorema de Pitágoras


Para entender bien el Teorema de Pitágoras debemos de tener claros algunos conceptos. Por ejemplo que sólo es aplicable a los triángulos rectángulos, es decir, a aquellos triángulos que tienen un ángulo recto. También hemos de saber cuales son los nombres que reciben los lados de un triángulo rectángulo: los lados que conforman el ángulo recto se llaman catetos, mientras el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

En primer lugar recordar siempre que:

- Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
- En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

El teorema dice: "Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."


\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)

Demostración:
Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto a, más lo que mide el cateto b, es decir a+b, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será \( (a+b)(a+b)= (a+b)^{2} \).

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos  tendremos la figura que vemos. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede escribir ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos ( base por altura divido por 2), más el área del cuadrado de lado c

Matemáticamente queda así despues de simplificar el primer miembro de la ecuación:

\(c^{2}+ 4 \frac{ab}{2} =  c^{2}+2ab  \)

Al igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

\((a+b)^{2} =  c^{2}+2ab  \)

Si  desarrollamos el binomio , nos queda:

\(a^{2}+2ab + b^{2} =  c^{2}+2ab  \)

Después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)

Ésta es una de las tantas demostraciones del Teorema de Pitágoras.

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