Relación raíz enésima y potencia con exponente fraccionario

En este artículo buscaremos la relación que existe entre las raíces enésimas y las potencias de exponente fraccionario. Osea, demostraremos 2 propiedades:

\( a^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ a} \)

\(a^{ \frac {m}{n}}=  \sqrt[n]{ a^{m}}\)

Primero analizaremos particularidades. Sea  \(  36^{ \frac {1}{2}}= x\)
Elevamos al cuadrado a la ecuación.
\(  36^{ \frac {1}{2}}= x\)                \( / ( )^2\)  

\(  (36^{ \frac {1}{2}})^2= x^2\)         /   por propiedades de potencia.

\(  36^{ \frac {1}{2} 2}= x^2\)

\(  36^{ 1}= x^2\)                           /   por definición de raíz enésima.

\( x =  \sqrt {36} \) 

Obtenemos, \( \sqrt[2]{ 36} = 36^{ \frac {1}{2}} \) 

Ahora, analicemos una raíz cúbica. Sea \(  (-64)^{ \frac {1}{3}}= x\)
Elevamos al cubo.
\(  (-64)^{ \frac {1}{3}}= y\)                \( / ( )^3\)
\(  ((-64)^{ \frac {1}{3}})^3= y^3\)         /   por propiedades de potencia.
\(  (-64)^{ \frac {1}{3} 3}= y^3\)
\(  (-64)^{ 1}= y^3\)                            /  por definición de raíz enésima.
\( y =  \sqrt[3]{ (-64)} \)
Obtenemos, \( \sqrt[3]{ (-64)} = (-64)^{ \frac {1}{3}} \)

En general, podemos decir que \(   b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}\)

Demostración: \(   b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}\)

Consideremos  \(n \neq 1\) un número natural.
Elevamos  a \(n\).
\(  b^{ \frac {1}{n}}= a\)   \( / ( )^n\)
\(  (b^{ \frac {1}{n}})^n= a^n\)         /   por propiedades de potencia.
\( b^{ \frac {1}{n} n}= a^n\)
\(  b^{ 1}= a^n\)                            /  por definición de raíz enésima.
\( a =  \sqrt[n]{ b} \)
Obtenemos, \(b^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ b} \)

Demostración: \(   b^{ \frac {m}{n}}= \sqrt[n]{ b^{m}}\)
Consideremos \(n\) y \(m\), números naturales. Con \(n \neq 1\) y \(m \neq 1\)
\(  b^{ \frac {m}{n}}= a  \Rightarrow  (b^m)^ {\frac {1}{n}}= a \Rightarrow  \sqrt[n]{ b^{m}}= a\)
Por tanto, \(   \sqrt[n]{ b^{m}}= b^{ \frac {m}{n}}\)

Ejemplo: \(   \sqrt[3]{ 49}= \sqrt[3]{ 7^{2}}= 7^{ \frac {2}{3}}\)

Demostración suma de ángulos interiores de un triángulo

A continuación demostraremos el lema:

 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a  180º.

Demostración:

Para demostrar el teorema, basta con trazar un recta paralela al segmento \( \overline {BC} \) del triángulo.

Luego, por propiedades de ángulos entre paralelas se demuestra que los ángulos \( \alpha_{1} = \alpha \), también \( \beta_{1} = \beta \)

Finalmente, si sumamos los ángulos \( \alpha_{1} +  \beta_{1} + \gamma = 180°\), porque es un ángulo extendido.
Esto implica que  \( \alpha +  \beta + \gamma = 180°\)

Demostración sencilla, pero no de mucha ocurrencia.

El problema de las ovejas - SIMCE de matemáticas

¿Sabías que en Chile, se tuvo que eliminar una de las preguntas de matemática en SIMCE?

En el año 2002, en Chile, se analizaba una de las preguntas más controversiales en su medición estandarizada SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de la Educación). Lo cual, llevó a cuestionamientos sobre la reforma educacional en Chile.

El problema matemático trataba de una simple pregunta, y que además, podía arrojar más de una respuesta.


El problema:

Si tienes 80 ovejas en un corral y se escapan 15. ¿Cuántas ovejas quedan dentro del corral?

 Frente a esta pregunta, la respuesta fácil es 65 ovejas, pero la respuesta de los niños de la Región de la Araucanía fue "ninguna". Es obvio, una de las características que tiene estos animales, es que se desplazan en piños o se mueven en rebaños. 

¿Es una pregunta mal respondida, o una pregunta mal planteada?

Fuente

MCM y MCD de expresiones algebraicas

En algunos textos, para el mínimo común múltiplo se usa la sigla m.c.m. y en otros M.C.M.

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de mayor coeficiente numérico y mayor grado que divide a todas estas expresiones en forma exacta.

Ejemplo 01:

Calcular el m.c.m. de  \(4x^3a^2y^5z^7\)   y    \(6x^6a^5y^2\)

Solución.-

El m.c.m. es:  \(12x^6a^5y^5z^7\)

¿Cómo se calcula el m.c.m.?

El primer paso es calcular el mínimo común múltiplo de los coeficientes numéricos.

En este caso es:

\(4 \) y \(6 \)  

Se descompone en factores primos:

\(4=2^2\) 

\(6=2 \cdot 3\) 

Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de los coeficientes es \(2^2 \cdot 3 = 12\), ya que se escoge la cantidad numérica con mayor grado. 

Lo mismo ocurre con las letras o expresiones algebraicas, se escogen las letras con mayor grado.

\(x^6a^5y^5z^7\)

Finalmente, el m.c.m. es: \(12x^6a^5y^5z^7\)

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de menor grado posible, que contiene

un número entero de veces como factor de dichas expresiones.

Ejemplo 02:

Con el mismo ejemplo anterior. Calcular el M.C.D. de:

\(4x^3a^2y^5\)   y    \(6x^6a^5y^2\)

Solución.-

El M.C.D. es:  \(2x^3a^2y^2\)

¿Cómo se calcula el M.C.D.?

El primer paso es calcular el máximo común divisor de los coeficientes numéricos.

En este caso es:

\(4 \) y \(6 \)  

Se descompone en factores primos:

\(4=2^2\) 

\(6=2 \cdot 3\) 

Por lo tanto, el máximo común divisor de los coeficientes es \(2\), ya que se escoge la cantidad numérica con menor grado. 

Lo mismo ocurre con las letras o expresiones algebraicas, se escogen las letras con menor grado.

\(x^3a^2y^2\)

Finalmente, el M.C.D. es: \(2x^3a^2y^2\)

Suma, Resta, Multiplicación y División de Polinomios

De este modo puedes ver que los Polinomios:

• \(5x^3 - 8x^2+ 1\) es de 3er grado.
• \(-3m^2n + m - n^4 + n \) es de 4to grado.
• \(x+5\) es de 1er grado. 

1. Suma de Polinomios.-
La adición es super sencillo, sólo debes fijarte en el grado y los coeficientes. Se pueden sumar, ya sea en formato vertical u horizontal, mediante la simplificación de términos semejantes.
Sumar los Polinomios: \( (2x^2+ x -1) + (3x^3 + 4x^2 -5) \)

  
2. Resta de Polinomios.-
La sustracción, al igual que la adición resulta ser fácil de resolver. En este caso, el segundo polinomio le debes encontrar su opuesto.

Restemos los Polinomios: \( (-3x^2-7) - (-8x^2 + 3x -4) \)

Otro Ejemplo: \( (5x^2 - 3x + 4) - (-3x^3 - 2x +8)\)

3. Multiplicación de Polinomios.-
Pueden ocurrir 2 situaciones, multiplicar un polinomio por un monomio ó multiplicar un polinomio por un polinomio. Para multiplicar debes recordar las propiedades de potencia que aquí existen.
 Veamos las 2 situaciones:

3.1 Multiplicación de un Polinomio por un Monomio.
 Multiplicar el monomio por el polinomio: \(-2x \cdot (x^2 -4x - 3) \)

 Multiplicar: \(  (5x + 4)  \cdot -2x  \)

 3.2 Multiplicación Polinomio por Polinomio.
La multiplicación de dos polinomios requiere de la aplicación reiterada de la propiedad distributiva.
Multiplicar los polinomios:
\(  (y-2) \cdot (y^2 +3y +1) = (y-2) \cdot (y^2) + (y-2) \cdot (3y) + (y-2) \cdot (1)  \)
                                          \(    = y^3 - 2y^2 + 3y^2 - 6y + y -2 \)
                                           \( = y^3 + y^2 -5y -2 \)

 Multiplicar: \( (2b^3 - b +1) \cdot (2b + 3) \)

\( (2b^3 - b +1) \cdot (2b + 3) \) = \( (2b^3) \cdot (2b + 3) - b \cdot (2b + 3) + (1) \cdot (2b + 3) \)
                                               \( = 4b^4 + 6b^3 - 2b^2 - b + 3 \)

4. División de Polinomios.-
La división de un polinomio entre un monomio:
Dividir los polinomios: \(  6x^2 + 4x : 2x \)
Divide cada uno de los términos del polinomio \(  6x^2 + 4x \) entre el monomio \(  2x\).
 \( \frac{6x^2 + 4x}{2x} =  \frac{6x^2}{2x} +  \frac{4x}{2x}\)
                                      \( = 3x + 2\)

 División de Polinomio por Polinomio.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Las funciones pueden tener diversas propiedades, las cuales facilitan su análisis y solución en muchos problemas de aplicación.

En mi publicación, el objetivo es aclarar la clasificación de las funciones que están presentes en los contenidos mínimos obligatorios de nuestro aprendizaje. Entre ellas está la función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Función Inyectiva.-

 

Una función \(f \) es inyectiva, o uno a uno,  de modo que los elementos distintos del dominio \(A\) le corresponden imágenes distintas en el codominio \(B\) .  Cada elemento de \(A\) tiene una única imagen en \(B\) (y sólo una). Se verifica que los elementos del conjunto  \(A\) siempre es menor o igual que los elemntos del conjunto \(B\). 

Algebraicamente una función inyectiva se define como; Si  \( f(x_{1}) = f(x_{2}), entonces, x_{1}= x_{2}\).

Veamos un contraejemplo:

En este caso, la función \(g\) no es inyectiva porque \(g(–1) = 1\) y \(g(1) = 1\), es decir, \(–1\) y \(1\) tienen la misma imagen.

Ahora analicemos geométricamente como la función \(f\) es infectiva y la función \(h\) no lo es. Simplemente se traza una recta paralela al eje \(x\) para determinar si una función es inyectiva o no. Si la recta corta en mas de 1 punto descartamos la posibilididad de que ella sea inyectiva.

 

En este caso, \(f\) no es inyectiva y \(g\) si lo es. 

Función Sobreyectiva.-

Una epiyección o sobreyección de \(A\) en \(B\) es toda función \(f\) de \(A\) en \(B\), de modo que todo elemento del codominio \(B\) es imagen de, al menos, un elemento del dominio \(A\). Cada elemento de \(B\) es imagen de por lo menos un elemento de \(A\). Se verifica que los elementos del conjunto \(A\) es mayor o igual a los elementos del conjunto \(B\). En otras palabras, en este caso el codominio es igual al recorrido.
Algebraicamente se define como;  \( \forall y \in Y\)   \( \exists x \in X  :  f(x)=y \)

Aquí un ejemplo y contraejemplo; \(f \) es sobreyectiva y \(g\) no lo es.

 

 La función \(f(x)=x+1\) es sobreyectiva.

Contraejemplo:

\( f(x) = x^2\)  No es Sobreyectiva.

Función Biyectiva.-

Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. Si cumple que sea Inyectiva y sobreyectiva a la vez, se verifica que la cardinalidad del conjunto \(A\) es igual a la cardinalidad del conjunto \(B\).
Algebraicamente la biyectividad se define como: \( \forall y \in Y\):   \( \exists !  x \in X  /  f(x)=y \)
Es decir, si para todo \(y\) de \(Y\) se cumple que existe un único \(x\) de \(X\), tal que la función evaluada en \(x\) es igual a \(y\).

 Ejemplos;
 \( f(x) = 2 – x\) es biyectiva.

Contraejemplo:
\( f(x) = x^2\)  No es biyectiva.

Guías CEPECH 2015 PDF

El objetivo de Cpech es que todos sus estudiantes de 1° a 4° Medio, se apropien de un método para analizar preguntas de cualquier área y seleccionar la estrategia apropiada para su resolución. Estas preguntas pueden corresponder a pruebas de los niveles de  Educación Media en las diferentes áreas o a la Prueba de Selección Universitaria (PSU).
Con este fin, todos los programas que ofrece Cpech cuentan con: guías de ejercicios impresos, resolución de estos en sitio web; evaluaciones de diagnóstico, de avance  y finales; informes individuales y colectivos.
Lo que aquí comparto son las guías correspondientes al año 2015. El servidor disponible para descargar las guías son Uploaded y 4shared.

 Fuente

Contenido:

ACOMPAÑAMIENTO ANUAL

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Contraseña: matematicalatex

Guías CEPECH 2012 Matemáticas PDF

 

Material CEPECH 2012
Las espectaculares Guias de matemática del preuniversitario cepech a disposicion de descarga.

Contendido:

• Guía 1.- Introducción a la aritmética (con solucionario)
• Guía 2.- Introducción al álgebra (con solucionario)
• Guía 3.- Conjuntos numéricos I (con solucionario)
• Guía 4.- Conjuntos numéricos II (con solucionario)
• Guía 5.- Recapitulación de conjuntos numéricos (con solucionario)
• Guía 6.- Potencias y raíces (con solucionario)
• Guía 7.- Recapitulación de Conjuntos numéricos, potencias y raíces (con solucionario)
• Guía 8.- Álgebra (con solucionario)
• Guía 9.- Recapitulación de Álgebra (con solucionario)
• Guía 10.- Ecuaciones y sistemas de ecuaciones (con solucionario)
• Guía 11.- Recapitulación de álgebra, ecuaciones y sistemas de ecuaciones (con solucionario)
• Guía 12.- Inecuaciones lineales (con solucionario)

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 Contenido:

• Guía 1.- Presentación a la PSU de matemáticas (con solucionario)
• Guía 2.- Introducción a la geometría (con solucionario)
• Guía 3.- Ángulos y polígonos (con solucionario)
• Guía 4.- Triángulos I (con solucionario)
• Guía 5.- Triángulos II (con solucionario)
• Guía 6.- Recapitulación de ángulos, polígonos y triángulos (con solucionario)
• Guía 7.- Trigonometría (con solucionario)
• Guía 8.- Cuadriláteros I (con solucionario)
• Guía 9.- Cuadriláteros II (con solucionario)
• Guía 10.- Recapitulación de Cuadriláteros (con solucionario)
• Guía 11.- Circunferencia y círculo I (con solucionario)
• Guía 12.- Circunferencia y círculo II (con solucionario)

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