Demostración propiedades de Raíces

La "raíz enésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial.

Para calcular raíces siempre me ha resultado la técnica de pensar en las raíces de un árbol, ¿quién produce ese árbol? De esta forma suele entenderse mejor lo que buscamos. 

Vamos a lo que nos convoca, la demostración de las propiedades de raíces enésimas.

Para demostrar las propiedades debes tener claro que las raíces están definidas por la definición de potencias, de tal forma que:

$b^{n}=x \leftrightarrow \sqrt[n]{x}= b$

Ejemplo;  $2^{3}=8 \leftrightarrow \sqrt[3]{8}= 2$

Propiedades:

1) $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} =  \sqrt[n]{a\cdot b}$

Multiplicación de raíces de igual índice. Se multiplican las bases y se conserva el índice.

Ejemplo; $\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{3} =  \sqrt[3]{5\cdot 3}$

Demostración:
Por definición de la raíz enésima, decimos que:
a) $\sqrt[n]{a} =  p  \leftrightarrow   a = p^{n}$
b) $\sqrt[n]{b} =  q \leftrightarrow   b = q^{n}$

Luego a) por b) es:

$p^{n} \cdot q^{n}  = ( p\cdot q)^{n}$    /  (Por propiedades de potencia)

Por la definición de raíz enésima:

$(p\cdot q)^{n} =  \sqrt[n]{a \cdot b }$

Y finalmente decimos que:

 $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} =  \sqrt[n]{a\cdot b}$

2)   $\frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Demostración:
Por definición de la raíz enésima, decimos que:
a) $\sqrt[n]{a} =  p  \leftrightarrow   a = p^{n}$
b) $\sqrt[n]{b} =  q \leftrightarrow   b = q^{n}$

Luego podemos decir que:

$\frac{a}{b} = \frac{p^{n}}{q^{n}} = (\frac{p}{q})^{n}$  / (por propiedades de potencias)

Nuevamente utilizamos la definición de raíces enésimas y listo.

 $\frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

3)   $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}  = \sqrt[mn]{a}$

Demostración:
Por definición de la raíz enésima, decimos que:
a) $\sqrt[n]{a} =  b  \leftrightarrow   a = b^{n}$
b) $\sqrt[n]{b} =  q \leftrightarrow   b = q^{m}$

Si tomamos las potencias de exponente n en ambos miembros de b):

c)  $(q^{m})^{n} = b^{n} = a$

Tomamos en c) raíces de índice mn y simplificamos:

 $\sqrt[nm]{q^{nm}}= \sqrt[nm]{a}$

Teniendo en cuenta el valor de q en b) :

$\sqrt[m]{b}= \sqrt[nm]{a}$

Como sabemos el valor  b en  a):

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}  = \sqrt[mn]{a}$

4)  $(\sqrt[n]{ a})^{m}= \sqrt[n]{ a^{m}}$

Ésta demostración es sencilla, miren:

$( \sqrt[n]{ a})^{m} = \sqrt[n]{ a} \cdot \sqrt[n]{ a}\cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{ a}=\sqrt[n]{ a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a } = \sqrt[n]{ a^{m}}$

y eso es todo.

Las otras propiedades que faltan se demuestran de la misma forma.