Relación raíz enésima y potencia con exponente fraccionario

En este artículo buscaremos la relación que existe entre las raíces enésimas y las potencias de exponente fraccionario. Osea, demostraremos 2 propiedades:

\( a^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ a} \)

\(a^{ \frac {m}{n}}=  \sqrt[n]{ a^{m}}\)

Primero analizaremos particularidades. Sea  \(  36^{ \frac {1}{2}}= x\)
Elevamos al cuadrado a la ecuación.
\(  36^{ \frac {1}{2}}= x\)                \( / ( )^2\)  

\(  (36^{ \frac {1}{2}})^2= x^2\)         /   por propiedades de potencia.

\(  36^{ \frac {1}{2} 2}= x^2\)

\(  36^{ 1}= x^2\)                           /   por definición de raíz enésima.

\( x =  \sqrt {36} \) 

Obtenemos, \( \sqrt[2]{ 36} = 36^{ \frac {1}{2}} \) 

Ahora, analicemos una raíz cúbica. Sea \(  (-64)^{ \frac {1}{3}}= x\)
Elevamos al cubo.
\(  (-64)^{ \frac {1}{3}}= y\)                \( / ( )^3\)
\(  ((-64)^{ \frac {1}{3}})^3= y^3\)         /   por propiedades de potencia.
\(  (-64)^{ \frac {1}{3} 3}= y^3\)
\(  (-64)^{ 1}= y^3\)                            /  por definición de raíz enésima.
\( y =  \sqrt[3]{ (-64)} \)
Obtenemos, \( \sqrt[3]{ (-64)} = (-64)^{ \frac {1}{3}} \)

En general, podemos decir que \(   b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}\)

Demostración: \(   b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}\)

Consideremos  \(n \neq 1\) un número natural.
Elevamos  a \(n\).
\(  b^{ \frac {1}{n}}= a\)   \( / ( )^n\)
\(  (b^{ \frac {1}{n}})^n= a^n\)         /   por propiedades de potencia.
\( b^{ \frac {1}{n} n}= a^n\)
\(  b^{ 1}= a^n\)                            /  por definición de raíz enésima.
\( a =  \sqrt[n]{ b} \)
Obtenemos, \(b^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ b} \)

Demostración: \(   b^{ \frac {m}{n}}= \sqrt[n]{ b^{m}}\)
Consideremos \(n\) y \(m\), números naturales. Con \(n \neq 1\) y \(m \neq 1\)
\(  b^{ \frac {m}{n}}= a  \Rightarrow  (b^m)^ {\frac {1}{n}}= a \Rightarrow  \sqrt[n]{ b^{m}}= a\)
Por tanto, \(   \sqrt[n]{ b^{m}}= b^{ \frac {m}{n}}\)

Ejemplo: \(   \sqrt[3]{ 49}= \sqrt[3]{ 7^{2}}= 7^{ \frac {2}{3}}\)