Análisis dominio y recorrido en una Función

La función  \( f \)  representada en el diagrama de abajo, el dominio, codominio y recorrido de la función son, respectivamente:

• \( Dom f= \lbrace 10, 20, 25 \rbrace \)
• \( Codom f= \lbrace  250, 1 000, 1 500, 1 750, 2 000 \rbrace\)
• \( Rec f= \lbrace  250, 1 000, 1 500 \rbrace \)

Además, como por ejemplo \( f(10) = 250 \), entonces \( 250 \) es la imagen
de \(10 \), o bien, \(10\) es la preimagen de \( 250 \).

Analicemos ;  \(  f(x) = \frac{6}{x - 5} \)
En este caso \( x \) no puede ser igual a \(5\), ya que la función se indefiniría. Por lo tanto, el \(dominio \) de la función es el conjunto de los números reales menos el cinco.

• \(Dom f = R– \lbrace 5 \rbrace\)

Para encontrar el \(recorrido\), una de las estrategías es convertir la función en una ecuación, donde analizaremos los valores que puede tomar \(y\) despejando \(x\).
\(  f(x) = \frac{6}{x - 5} \)
 \(  y = \frac{6}{x - 5} \)
El siguiente paso, es dejar la ecuación en función de \(y\).
\(  y = \frac{6}{x - 5} \)
\(  y  \cdot (x-5) = 6 \)
\(  y  \cdot x - y \cdot 5 = 6 \)
\(  y  \cdot x = 6 + y \cdot 5\)
 \(  x  = \frac{6  +  5 \cdot y}{y }\)

Por lo tanto, podemos ver que el valor que no puede tomar \(y\) es cero, porque la función se indefine. En este caso, el \(recorrido\) de la función son todos los reales menos el cero.

• \(Rec f = R - \lbrace 0 \rbrace\)

Si ahora analizamos la función \(f(x) = x^2 + 3\), trivialmente podemos decir que el \(dominio \) son todos los reales, porque \( x \) puede tomar cualquier valor sin indefinirse la función.

• \(Dom f = R\)

Para analizar el  \(recorrido\) , utilizamos la misma estrategía.
\(f(x) = x^2 + 3\)
\(y = x^2 + 3\)
 \(y - 3= x^2 \)    Aplicamos  \(\sqrt[]{} \)
\( \sqrt[]{y - 3} = x \)

Al analizar los valores que puede tomar \(y\),  decimos que el \(recorrido\) son todos numeros reales mayor o igual a 3.

• \(Rec f =  x \geq 3 / x  \in R \)

Veamos otra situación, \( f(x) = \sqrt[]{x + 4} \)
Aquí los valores que puede corresponder a  \( x \), son valores mayores o iguales que cuatro.
Matemáticamente decimos que el \(dominio \) se define como:

• \(Dom f =  x \geq 4 / x  \in R \)

Vamos al \(recorrido\).
\( f(x) = \sqrt[]{x + 4} \)
\( y = \sqrt[]{x + 4} \)
Al elevar al cuadrado ambos miembros tenemos com resultado:
\( y^2 = x + 4 \)
\( y^2- 4 = x \)

Los valores que puede obtener  \(y\)  son todos los reales, ya que no hay ninguna restricción para la función. Osea, el recorrido es:

• \(Rec f = R\)

El análisis del recorrido y dominio de una función también se puede hacer con su respectiva gráfica en el plano cartesiano. Se observa el comportamiento de la función y listo.
Eso es todo, espero les haya gustado.