Análisis dominio y recorrido en una Función

La función  $f$  representada en el diagrama de abajo, el dominio, codominio y recorrido de la función son, respectivamente:

• $Dom f= \lbrace 10, 20, 25 \rbrace$
• $Codom f= \lbrace  250, 1 000, 1 500, 1 750, 2 000 \rbrace$
• $Rec f= \lbrace  250, 1 000, 1 500 \rbrace$

Además, como por ejemplo $f(10) = 250$, entonces $250$ es la imagen
de $10$, o bien, $10$ es la preimagen de $250$.

Analicemos ;  $f(x) = \frac{6}{x - 5}$
En este caso $x$ no puede ser igual a $5$, ya que la función se indefiniría. Por lo tanto, el $dominio$ de la función es el conjunto de los números reales menos el cinco.

• $Dom f = R– \lbrace 5 \rbrace$

Para encontrar el $recorrido$, una de las estrategías es convertir la función en una ecuación, donde analizaremos los valores que puede tomar $y$ despejando $x$.
$f(x) = \frac{6}{x - 5}$
 $y = \frac{6}{x - 5}$
El siguiente paso, es dejar la ecuación en función de $y$.
$y = \frac{6}{x - 5}$
$y  \cdot (x-5) = 6$
$y  \cdot x - y \cdot 5 = 6$
$y  \cdot x = 6 + y \cdot 5$
 $x  = \frac{6  +  5 \cdot y}{y }$

Por lo tanto, podemos ver que el valor que no puede tomar $y$ es cero, porque la función se indefine. En este caso, el $recorrido$ de la función son todos los reales menos el cero.

• $Rec f = R - \lbrace 0 \rbrace$

Si ahora analizamos la función $f(x) = x^2 + 3$, trivialmente podemos decir que el $dominio$ son todos los reales, porque $x$ puede tomar cualquier valor sin indefinirse la función.

• $Dom f = R$

Para analizar el  $recorrido$ , utilizamos la misma estrategía.
$f(x) = x^2 + 3$
$y = x^2 + 3$
 $y - 3= x^2$    Aplicamos  $\sqrt[]{}$
$\sqrt[]{y - 3} = x$

Al analizar los valores que puede tomar $y$,  decimos que el $recorrido$ son todos numeros reales mayor o igual a 3.

• $Rec f =  x \geq 3 / x  \in R$

Veamos otra situación, $f(x) = \sqrt[]{x + 4}$
Aquí los valores que puede corresponder a  $x$, son valores mayores o iguales que cuatro.
Matemáticamente decimos que el $dominio$ se define como:

• $Dom f =  x \geq 4 / x  \in R$

Vamos al $recorrido$.
$f(x) = \sqrt[]{x + 4}$
$y = \sqrt[]{x + 4}$
Al elevar al cuadrado ambos miembros tenemos com resultado:
$y^2 = x + 4$
$y^2- 4 = x$

Los valores que puede obtener  $y$  son todos los reales, ya que no hay ninguna restricción para la función. Osea, el recorrido es:

• $Rec f = R$

El análisis del recorrido y dominio de una función también se puede hacer con su respectiva gráfica en el plano cartesiano. Se observa el comportamiento de la función y listo.
Eso es todo, espero les haya gustado.