tag:blogger.com,1999:blog-48864552609241564522024-03-14T06:57:12.587-07:00Matemática LaTeXNoticias, Curiosidades y Demostraciones Matemáticas.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/01330839764032798018noreply@blogger.comBlogger47125tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-41455402022446939342017-09-21T11:15:00.003-07:002017-09-21T13:31:40.181-07:00Relación raíz enésima y potencia con exponente fraccionario<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-L_ls5qri3ini05_PLDNU_Xi53UUgR_K7D7QWO-GC_FavRMEVgTOCAvRaDh3KbF3_rhSz6iwYszaBXyN8CQBmXh1lAuMn9bjwSGQwa7GlvKf70_mCzvyF637OK8bapcGn9WjoE0c5UhE/s1600/maxresdefault.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" data-original-height="768" data-original-width="1366" height="177" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-L_ls5qri3ini05_PLDNU_Xi53UUgR_K7D7QWO-GC_FavRMEVgTOCAvRaDh3KbF3_rhSz6iwYszaBXyN8CQBmXh1lAuMn9bjwSGQwa7GlvKf70_mCzvyF637OK8bapcGn9WjoE0c5UhE/s320/maxresdefault.jpg" width="320" /></a></div>
En este artículo buscaremos la relación que existe entre las raíces enésimas y las potencias de exponente fraccionario. Osea, demostraremos 2 propiedades:<br />
<div>
<blockquote class="tr_bq" style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
\( a^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ a} \)</div>
</blockquote>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
\(a^{ \frac {m}{n}}= \sqrt[n]{ a^{m}}\)</div>
</div>
<span style="text-align: justify;">
</span></blockquote>
</div>
<div>
Primero analizaremos particularidades. <span style="text-align: justify;">Sea \( 36^{ \frac {1}{2}}= x\)</span><br />
<span style="text-align: justify;">Elevamos al cuadrado a la ecuación.</span><br />
<span style="text-align: justify;">\( 36^{ \frac {1}{2}}= x\) </span><span style="text-align: justify;">\( / ( )^2\) </span></div>
<div>
<span style="text-align: justify;">\( (36^{ \frac {1}{2}})^2= x^2\) / por propiedades de potencia.</span></div>
<div>
<span style="text-align: justify;">\( 36^{ \frac {1}{2} 2}= x^2\)</span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
\( 36^{ 1}= x^2\) / por definición de raíz enésima.</div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = \sqrt {36} \) </div>
<div style="text-align: justify;">
Obtenemos, \( \sqrt[2]{ 36} = 36^{ \frac {1}{2}} \) </div>
</div>
<div>
<br />
Ahora, analicemos una raíz cúbica. Sea \( (-64)^{ \frac {1}{3}}= x\)<br />
Elevamos al cubo.<br />
\( (-64)^{ \frac {1}{3}}= y\) \( / ( )^3\)<br />
\( ((-64)^{ \frac {1}{3}})^3= y^3\) / por propiedades de potencia.<br />
\( (-64)^{ \frac {1}{3} 3}= y^3\)<br />
\( (-64)^{ 1}= y^3\) / por definición de raíz enésima.<br />
\( y = \sqrt[3]{ (-64)} \)<br />
Obtenemos, \( \sqrt[3]{ (-64)} = (-64)^{ \frac {1}{3}} \)<br />
<br />
En general, podemos decir que \( b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}\)<br />
<br />
<b><span style="color: #990000;">Demostración: </span></b><span style="color: #990000;"><b>\( b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}\)</b></span><br />
<br />
Consideremos \(n \neq 1\) un número natural.<br />
Elevamos a \(n\).<br />
\( b^{ \frac {1}{n}}= a\) \( / ( )^n\)<br />
\( (b^{ \frac {1}{n}})^n= a^n\) / por propiedades de potencia.<br />
\( b^{ \frac {1}{n} n}= a^n\)<br />
\( b^{ 1}= a^n\) / por definición de raíz enésima.<br />
\( a = \sqrt[n]{ b} \)<br />
Obtenemos, \(b^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ b} \)<br />
<br />
<b><span style="color: #990000;">Demostración: </span></b><span style="color: #990000;"><b>\( b^{ \frac {m}{n}}= \sqrt[n]{ b^{m}}\)</b></span><br />
Consideremos \(n\) y \(m\), números naturales. Con \(n \neq 1\) y \(m \neq 1\)<br />
\( b^{ \frac {m}{n}}= a \Rightarrow (b^m)^ {\frac {1}{n}}= a \Rightarrow \sqrt[n]{ b^{m}}= a\)<br />
Por tanto, \( \sqrt[n]{ b^{m}}= b^{ \frac {m}{n}}\)<br />
<br />
Ejemplo: \( \sqrt[3]{ 49}= \sqrt[3]{ 7^{2}}= 7^{ \frac {2}{3}}\)</div>
Juan Carloshttp://www.blogger.com/profile/02654524955936997769noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-37907937427084445072017-09-19T17:13:00.001-07:002017-09-19T17:13:08.927-07:00Demostración suma de ángulos interiores de un triánguloA continuación demostraremos el lema:<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.</blockquote>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXD7Sgf68i2Qju0H3NvfkRD2OvMV02upepLcuNYdi2pjb6Oe2vUC22KpiLVPJcf_SsFgu3_CeVbNd77OBd_swJGGVbNcv_7iJpfowperUYxYrDwCIZwMJF9WqHvWjJykdkT2C5YozTQ3I/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="388" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXD7Sgf68i2Qju0H3NvfkRD2OvMV02upepLcuNYdi2pjb6Oe2vUC22KpiLVPJcf_SsFgu3_CeVbNd77OBd_swJGGVbNcv_7iJpfowperUYxYrDwCIZwMJF9WqHvWjJykdkT2C5YozTQ3I/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<b>Demostración:</b><br />
<br />
Para demostrar el teorema, basta con trazar un recta paralela al segmento \( \overline {BC} \) del triángulo.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii9Dh-iBZPoBr5dspXDO5Cdt6P_wJaDloLInpDYNqc_yWjuvwfTsVYlfWooqrwJMlc0lyXacWp1L37H55XQJxVp__U-zONpTsB-9zEm0YiaR4-EdYzG_0Y7ySljJ4K2pyHQYWnzi1P_V0/s1600/Captura2.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="201" data-original-width="493" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEii9Dh-iBZPoBr5dspXDO5Cdt6P_wJaDloLInpDYNqc_yWjuvwfTsVYlfWooqrwJMlc0lyXacWp1L37H55XQJxVp__U-zONpTsB-9zEm0YiaR4-EdYzG_0Y7ySljJ4K2pyHQYWnzi1P_V0/s1600/Captura2.PNG" /></a></div>
<br />
Luego, por propiedades de <a href="http://matematicalatex.blogspot.cl/2015/08/angulos-entre-paralelas.html" target="_blank">ángulos entre paralelas</a> se demuestra que los ángulos \( \alpha_{1} = \alpha \), también \( \beta_{1} = \beta \)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVbGYbINrPj-xeQCZMd5bCHs3Hq9DZACeaDpf1cnWiZeLvNPZfseUwu1YgoxG1kOXIYa-523qXCuEmX7UaxxwxAh_bayZ5gmEMjIQQbptmeJDXPkogfWydvHUH6dII_g9mRIcpvSkcKFY/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="230" data-original-width="465" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVbGYbINrPj-xeQCZMd5bCHs3Hq9DZACeaDpf1cnWiZeLvNPZfseUwu1YgoxG1kOXIYa-523qXCuEmX7UaxxwxAh_bayZ5gmEMjIQQbptmeJDXPkogfWydvHUH6dII_g9mRIcpvSkcKFY/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Finalmente, si sumamos los ángulos \( \alpha_{1} + \beta_{1} + \gamma = 180°\), porque es un ángulo extendido.<br />
Esto implica que \( \alpha + \beta + \gamma = 180°\)<br />
<br />
Demostración sencilla, pero no de mucha ocurrencia.Juan Carloshttp://www.blogger.com/profile/02654524955936997769noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-63880098381826198092017-09-08T15:12:00.002-07:002017-09-21T06:13:52.195-07:00El problema de las ovejas - SIMCE de matemáticas¿Sabías que en Chile, se tuvo que eliminar una de las preguntas de matemática en SIMCE?<br />
<br />
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: right;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjbyJg0kPZe_9JFx_ZbH44cMWxpvpuTvW66OsokJ5rp3zoYKCjUZWQXlZmQwrhcKi8-fapTmKasJtj5RyvRVEKxMINvKmlsN_2jvSqPGw_j45uXRcAvg7VLE8HWFdU4k6lV6uJCQsS2pQ/s1600/ovejas+Matematica+LaTeX.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: right;"><img border="0" data-original-height="1018" data-original-width="1357" height="239" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjbyJg0kPZe_9JFx_ZbH44cMWxpvpuTvW66OsokJ5rp3zoYKCjUZWQXlZmQwrhcKi8-fapTmKasJtj5RyvRVEKxMINvKmlsN_2jvSqPGw_j45uXRcAvg7VLE8HWFdU4k6lV6uJCQsS2pQ/s320/ovejas+Matematica+LaTeX.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
En el año 2002, en Chile, se analizaba una de las preguntas más controversiales en su medición estandarizada <b>SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de la Educación)</b>. Lo cual, llevó a cuestionamientos sobre la reforma educacional en Chile.<br />
<br />
El <b>problema matemático</b> trataba de una simple pregunta, y que además, podía arrojar más de una respuesta.<br />
<br />
<br />
El problema:<br />
<blockquote class="tr_bq">
Si tienes 80 ovejas en un corral y se escapan 15. ¿Cuántas ovejas quedan dentro del corral?</blockquote>
Frente a esta pregunta, la respuesta fácil es <b>65 ovejas</b>, pero la respuesta de los niños de la Región de la Araucanía fue "<b>ninguna"</b>. Es obvio, una de las características que tiene estos animales, es que se desplazan en <b>piños </b>o se mueven en <b>rebaños. </b><br />
<br />
¿Es una pregunta mal respondida, o una pregunta mal planteada?<br />
<br />
<div style="text-align: right;">
<a href="http://www.australtemuco.cl/site/apg/reportajes/pags/20031026040815.html" target="_blank">Fuente</a></div>
Juan Carloshttp://www.blogger.com/profile/02654524955936997769noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-15741177736979905012017-08-22T08:29:00.004-07:002021-11-09T09:44:14.758-08:00MCM y MCD de expresiones algebraicas<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidJ15ywlhtarave4thCPx9itfyGqrXLUPz_gdUzGuaYKzzMy1O4nE13PtvLwvH6FHR9HGo6RPd66l0vIW_04QefWS9zLg1S8cxX0JVauh6KUKflaaDKyfoSrRccxBnL2hqmXOBGjU6mdI/s1600/calculadora-minimo-comun-multiplo.jpeg" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" data-original-height="512" data-original-width="512" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidJ15ywlhtarave4thCPx9itfyGqrXLUPz_gdUzGuaYKzzMy1O4nE13PtvLwvH6FHR9HGo6RPd66l0vIW_04QefWS9zLg1S8cxX0JVauh6KUKflaaDKyfoSrRccxBnL2hqmXOBGjU6mdI/s200/calculadora-minimo-comun-multiplo.jpeg" width="200" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
En algunos textos, para el mínimo común múltiplo se usa la sigla <b>m.c.m.</b> y en otros <b>M.C.M.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><b>Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de mayor
coeficiente numérico y mayor grado que divide a todas estas expresiones
en forma exacta.<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #3d85c6;">Ejemplo 01:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Calcular el m.c.m. de \(4x^3a^2y^5z^7\) y \(6x^6a^5y^2\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #3d85c6;">Solución.-</span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
El <b>m.c.m.</b> es: <b>\(12x^6a^5y^5z^7\)</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
¿Cómo se calcula el m.c.m.?</div>
<div style="text-align: justify;">
El primer paso es calcular el mínimo común múltiplo de los coeficientes numéricos.</div>
<div style="text-align: justify;">
En este caso es:</div>
<div style="text-align: justify;">
\(4 \) y \(6 \) </div>
<div style="text-align: justify;">
Se descompone en factores primos:</div>
<div style="text-align: justify;">
\(4=2^2\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\(6=2 \cdot 3\) </div>
<div style="text-align: justify;">
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de los coeficientes es \(2^2 \cdot 3 = 12\), ya que se escoge la cantidad numérica con mayor grado. </div>
<div style="text-align: justify;">
Lo mismo ocurre con las letras o expresiones algebraicas, se escogen las letras con mayor grado.</div>
<div style="text-align: justify;">
\(x^6a^5y^5z^7\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Finalmente, el m.c.m. es: \(12x^6a^5y^5z^7\)</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<b><span style="color: #990000;">Máximo Común Divisor (M.C.D.)</span></b></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de menor grado posible, que contiene</div>
<div style="text-align: justify;">
un número entero de veces como factor de dichas expresiones.</div>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="color: #3d85c6;">Ejemplo 02:</span></div>
<div>
Con el mismo ejemplo anterior. Calcular el M.C.D. de:</div>
<div>
\(4x^3a^2y^5\) y \(6x^6a^5y^2\)</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #3d85c6;">Solución.-</span></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
El M<b>.C.D.</b> es: <b>\(2x^3a^2y^2\)</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
¿Cómo se calcula el M.C.D.?</div>
<div style="text-align: justify;">
El primer paso es calcular el máximo común divisor de los coeficientes numéricos.</div>
<div style="text-align: justify;">
En este caso es:</div>
<div style="text-align: justify;">
\(4 \) y \(6 \) </div>
<div style="text-align: justify;">
Se descompone en factores primos:</div>
<div style="text-align: justify;">
\(4=2^2\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\(6=2 \cdot 3\) </div>
<div style="text-align: justify;">
Por lo tanto, el máximo común divisor de los coeficientes es \(2\), ya que se escoge la cantidad numérica con menor grado. </div>
<div style="text-align: justify;">
Lo mismo ocurre con las letras o expresiones algebraicas, se escogen las letras con menor grado.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>\(x^3a^2y^2\)</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Finalmente, el M.C.D. es: <b>\(2x^3a^2y^2\)</b></div>
</div>
</div>
<div>
<br /></div>
Juan Carloshttp://www.blogger.com/profile/02654524955936997769noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-6060842191121939492016-01-22T14:43:00.001-08:002016-01-22T15:07:03.154-08:00Suma, Resta, Multiplicación y División de Polinomios<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJDRSpkgCD1v0711hPtT9T4mIgp6cCNV1pCUHH2c1_feYLmF2Urv5kKLv2pzFw4rK_LJWbFA9wQVAAeQ4O5fuDO1lZj3Gnz4JVN2n4fTn2VA1pnEMvD0mkQpa_PXRnXW_m7TFDdp7YFkU/s1600/Divisi%25C3%25B3n+polinomios+matematica+latex.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJDRSpkgCD1v0711hPtT9T4mIgp6cCNV1pCUHH2c1_feYLmF2Urv5kKLv2pzFw4rK_LJWbFA9wQVAAeQ4O5fuDO1lZj3Gnz4JVN2n4fTn2VA1pnEMvD0mkQpa_PXRnXW_m7TFDdp7YFkU/s640/Divisi%25C3%25B3n+polinomios+matematica+latex.PNG" width="640" /></a></div>
De este modo puedes ver que los Polinomios:<br />
<ul>
<li>\(5x^3 - 8x^2+ 1\) es de 3er grado.</li>
<li>\(-3m^2n + m - n^4 + n \) es de 4to grado.</li>
<li>\(x+5\) es de 1er grado. </li>
</ul>
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: large;"><span style="color: #990000;"><b>1. Suma de Polinomios.-</b></span></span></span><br />
La adición es super sencillo, sólo debes fijarte en el grado y los coeficientes. Se pueden sumar, ya sea en formato vertical u horizontal, mediante la simplificación de términos semejantes.<br />
Sumar los Polinomios: \( (2x^2+ x -1) + (3x^3 + 4x^2 -5) \)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDiZaJWmyV_-r6vgk40u9wKMl8NVMXn1HHO921aH4DLafHUQRGGwvDYp6r93-JGnsAp6nLLzNUJi41Y-RSTKHX-qofsOuQNHII4YKQwcIq1R8_5L2pUZiindpKHBryjtCNpFMstlGoaSk/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="106" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDiZaJWmyV_-r6vgk40u9wKMl8NVMXn1HHO921aH4DLafHUQRGGwvDYp6r93-JGnsAp6nLLzNUJi41Y-RSTKHX-qofsOuQNHII4YKQwcIq1R8_5L2pUZiindpKHBryjtCNpFMstlGoaSk/s640/%25C3%25ADndice.png" width="640" /></a></div>
<span style="color: #990000;"> </span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #990000;"> </span></b></span><br />
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #990000;">2. Resta</span> </b><span style="color: #990000;"><b>de Polinomios.-</b></span></span></span><br />
La sustracción, al igual que la adición resulta ser fácil de resolver. En este caso, el segundo polinomio le debes encontrar su opuesto.<br />
<br />
Restemos los Polinomios: \( (-3x^2-7) - (-8x^2 + 3x -4) \)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ73agS4yRydExjuoWE81IxEQfyTpqbJdCnZhHaZBCZ4qHxGPuwN9uqYwOcQb4LYR21iHYZwISyYDvsh489isj9WoTG5MYjI7AueDWFGlzi5DWz2p7YsWl_Um8S0ulvqIHhVzSRu_Uc44/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ73agS4yRydExjuoWE81IxEQfyTpqbJdCnZhHaZBCZ4qHxGPuwN9uqYwOcQb4LYR21iHYZwISyYDvsh489isj9WoTG5MYjI7AueDWFGlzi5DWz2p7YsWl_Um8S0ulvqIHhVzSRu_Uc44/s1600/%25C3%25ADndice.png" /></a></div>
Otro Ejemplo: \( (5x^2 - 3x + 4) - (-3x^3 - 2x +8)\)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigCKrWASwuA1uaAUQNkW4823R48DmxY6mjZBOOkF8poYoFOMSX_cb2wNr14kmsfpJ1J5Wms-2VacLA9iUN9MkYbOhyphenhyphenqpwPkfUvhT0cd2i9FlixzcQxLHfuD_uJ_EGp-fkiOAeXdzXBAgU/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigCKrWASwuA1uaAUQNkW4823R48DmxY6mjZBOOkF8poYoFOMSX_cb2wNr14kmsfpJ1J5Wms-2VacLA9iUN9MkYbOhyphenhyphenqpwPkfUvhT0cd2i9FlixzcQxLHfuD_uJ_EGp-fkiOAeXdzXBAgU/s1600/%25C3%25ADndice.png" /></a></div>
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #990000;">3. Multiplicación</span> </b><span style="color: #990000;"><b>de Polinomios.-</b></span></span></span><br />
Pueden ocurrir 2 situaciones, multiplicar un polinomio por un monomio ó multiplicar un polinomio por un polinomio. Para multiplicar debes recordar las propiedades de potencia que <a href="http://matematicalatex.blogspot.cl/2014/08/demostracion-propiedades-de-potencia.html" target="_blank">aquí existen</a>. <br />
Veamos las 2 situaciones:<br />
<span style="color: #0b5394;"><br /></span>
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="color: #990000;">3.1 Multiplicación</span> </b></span><span style="color: #990000;"><b><span style="font-size: small;">de un Polinomio por un Monomio.</span></b></span></span></span><br />
Multiplicar el monomio por el polinomio: \(-2x
\cdot (x^2 -4x - 3) \)<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXGT7rGLw18uI4SI4cM7-8dhyzVdtmBVQCgwGlYMgvbChbJpLvEn9l4V5LCSBy2ETbbU0bRQ5LBpMQ-O4JXVz7ifJLR4URCFQePpn63ANqkMkRl4Sbn4nvOkXlLVIIBdIXCqt9RQvbDVg/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="141" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXGT7rGLw18uI4SI4cM7-8dhyzVdtmBVQCgwGlYMgvbChbJpLvEn9l4V5LCSBy2ETbbU0bRQ5LBpMQ-O4JXVz7ifJLR4URCFQePpn63ANqkMkRl4Sbn4nvOkXlLVIIBdIXCqt9RQvbDVg/s640/%25C3%25ADndice.png" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
Multiplicar: \( (5x + 4) \cdot -2x \)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiV_lrLCcgeR2v6v2unTIKw8PJbfbhiz8dxH6PgCTQj8YFzljsQfhuDfS40n0BJscvAEBky0iJBbxnXnznVl5wIqRqwDm4zMkb0kyHcabFDufKXRWSgB67gwPEC7K-Gzq5gElqz6MTCLD0/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiV_lrLCcgeR2v6v2unTIKw8PJbfbhiz8dxH6PgCTQj8YFzljsQfhuDfS40n0BJscvAEBky0iJBbxnXnznVl5wIqRqwDm4zMkb0kyHcabFDufKXRWSgB67gwPEC7K-Gzq5gElqz6MTCLD0/s1600/%25C3%25ADndice.png" /></a></div>
<span style="color: #0b5394;"> <span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="color: #990000;">3.2 Multiplicación</span> </b></span><span style="color: #990000;"><b><span style="font-size: small;">Polinomio por Polinomio.</span></b></span></span></span><br />
La multiplicación de dos polinomios requiere de la aplicación reiterada de la propiedad distributiva.<br />
Multiplicar los polinomios:<br />
\( (y-2) \cdot (y^2 +3y +1) = (y-2) \cdot (y^2) + (y-2) \cdot (3y) + (y-2) \cdot (1) \)<br />
\( = y^3 - 2y^2 + 3y^2 - 6y + y -2 \)<br />
\( = y^3 + y^2 -5y -2 \)<br />
<br />
Multiplicar: \( (2b^3 - b +1) \cdot (2b + 3) \)<br />
<br />
\( (2b^3 - b +1) \cdot (2b + 3) \) = \( (2b^3) \cdot (2b + 3) - b \cdot (2b + 3) + (1) \cdot (2b + 3) \)<br />
\( = 4b^4 + 6b^3 - 2b^2 - b + 3 \)<br />
<br />
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #990000;">4. División</span> </b><span style="color: #990000;"><b>de Polinomios.-</b></span></span></span><br />
La división de un <b><span style="color: #0b5394;">polinomio entre un monomio:</span></b><br />
Dividir los polinomios: \( 6x^2 + 4x : 2x \)<br />
Divide cada uno de los términos del polinomio \( 6x^2 + 4x \) entre el monomio \( 2x\).<br />
\( \frac{6x^2 + 4x}{2x} = \frac{6x^2}{2x} + \frac{4x}{2x}\)<br />
\( = 3x + 2\)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbFfZbLSedqo-VuKsdQn15QcEIWosJslU5BijnHGF3rFPT0c6nEPXjg7B9D-iU0gK9peVFGg4Xru4xoVn4r7o_I2XkDOQDEa9pk13jVXcOZ9siB7DxzclUuDMEX3JwzTGFA0iv3iV0jy4/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbFfZbLSedqo-VuKsdQn15QcEIWosJslU5BijnHGF3rFPT0c6nEPXjg7B9D-iU0gK9peVFGg4Xru4xoVn4r7o_I2XkDOQDEa9pk13jVXcOZ9siB7DxzclUuDMEX3JwzTGFA0iv3iV0jy4/s1600/%25C3%25ADndice.png" /></a></div>
<br />
<br />
<span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"><b><span style="color: #990000;"> División de</span> </b></span><span style="color: #990000;"><b><span style="font-size: small;">Polinomio por Polinomio.</span></b></span></span></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2-CI_Afp1076gyuft_LQaUA3oSNbNSywYR5HfIz6dwXyR_fXiRAc-hldvLxwLTNDQ2FtUDPY0UdgNt-YcWegdWP2YgKjGqFiD6oLd87E2swDduZcwAnNsz7sDyUr4hTBYtNmdSAVjBoo/s1600/%25C3%25ADndice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="34" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwa7TGzTXhDnUGacWLb1d58-uUg5TngsFaLpYukqahFkauGRkFaNtGIl7TVtCw7FFfS_hF0pgVfUcu5uwNGKwRqt8tfmyvyNbf4Wp3bzMuIF8PdjSzHyfm8JBBNWkLJryxd0cqpujnapI/s320/%25C3%25ADndice.png" width="320" /><img border="0" height="248" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2-CI_Afp1076gyuft_LQaUA3oSNbNSywYR5HfIz6dwXyR_fXiRAc-hldvLxwLTNDQ2FtUDPY0UdgNt-YcWegdWP2YgKjGqFiD6oLd87E2swDduZcwAnNsz7sDyUr4hTBYtNmdSAVjBoo/s640/%25C3%25ADndice.png" width="640" /></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-41898602652708264042016-01-21T23:43:00.000-08:002016-10-05T13:56:15.054-07:00Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva<div style="text-align: justify;">
Las funciones pueden tener diversas propiedades, las cuales facilitan su análisis y solución en muchos problemas de aplicación.</div>
<div style="text-align: justify;">
En mi publicación, el objetivo es aclarar la clasificación de las funciones que están presentes en los contenidos mínimos obligatorios de nuestro aprendizaje. Entre ellas está la función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.</div>
<br />
<u><span style="color: #990000;"><i><span style="font-size: large;"><b>Funci<u>ó</u>n Inyectiva.-</b></span></i></span></u><br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkNAtx69SaNi3PWJdyIEfxs0Gm1odESc_vU3RoLPw5M6-CpmxxBdEC84iVPPRiWA4MtoBzKUSldX2TH80OMX6UIQsysgDDdqHlzlWJEa6rJ-6DQ20d03OEI4mcd0tT-Qwxekb0zrebBD8/s1600/matematica+latex.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkNAtx69SaNi3PWJdyIEfxs0Gm1odESc_vU3RoLPw5M6-CpmxxBdEC84iVPPRiWA4MtoBzKUSldX2TH80OMX6UIQsysgDDdqHlzlWJEa6rJ-6DQ20d03OEI4mcd0tT-Qwxekb0zrebBD8/s320/matematica+latex.PNG" width="320" /></a> </div>
<div style="text-align: justify;">
Una función \(f \) es inyectiva, o uno a uno, de modo que los elementos distintos del dominio \(A\) le corresponden imágenes distintas en el <a href="http://matematicalatex.blogspot.cl/2016/01/analisis-dominio-y-recorrido-en-una.html" target="_blank">codominio</a> \(B\) . Cada elemento de \(A\) tiene una única imagen en \(B\) (y sólo una). Se verifica que los elementos del conjunto \(A\) siempre es menor o igual que los elemntos del conjunto \(B\). </div>
Algebraicamente una función inyectiva se define como; Si \( f(x_{1}) = f(x_{2}), entonces, x_{1}= x_{2}\).<br />
<br />
Veamos un contraejemplo:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj78asZc6DXc-P6xYmV40y60dN2DWWM7WheNJVg1YAcnnFcKZtbaYHxWn5pHuH2Ud5f_IdQmhihvkGuKdKnUT-8zZmN4MtpuhYmXnKqnNw6eNz-7EH9pccOvzwD_hoZAL1LovSFYk7I50A/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj78asZc6DXc-P6xYmV40y60dN2DWWM7WheNJVg1YAcnnFcKZtbaYHxWn5pHuH2Ud5f_IdQmhihvkGuKdKnUT-8zZmN4MtpuhYmXnKqnNw6eNz-7EH9pccOvzwD_hoZAL1LovSFYk7I50A/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
En este caso, la función \(g\) no es inyectiva porque \(g(–1) = 1\) y \(g(1) = 1\), es decir, \(–1\) y \(1\) tienen la misma imagen.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ahora analicemos geométricamente como la función \(f\) es infectiva y la función \(h\) no lo es. Simplemente se traza una recta paralela al eje \(x\) para determinar si una función es inyectiva o no. Si la recta corta en mas de 1 punto descartamos la posibilididad de que ella sea <i>inyectiva</i>. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLFQcMvrt0niDU7M1XbdkRvxB7wbSxdmlENGGQZXhDyubGpQ8lmv06EyIMILLc6uPnXD-olXpgfInMbR61xP0fqgFJRyKFL95Lt0cLXIg3IWiwXmmsifKQO8xPW17z-7P6CmSKj44UNIE/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLFQcMvrt0niDU7M1XbdkRvxB7wbSxdmlENGGQZXhDyubGpQ8lmv06EyIMILLc6uPnXD-olXpgfInMbR61xP0fqgFJRyKFL95Lt0cLXIg3IWiwXmmsifKQO8xPW17z-7P6CmSKj44UNIE/s1600/Captura.PNG" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
En este caso, \(f\) no es inyectiva y \(g\) si lo es. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnsAqTMYLnaSRVFWrZgq_dJApz0zllMW_YHB5IfN-rvo2q7fCMA4OXcxNag0OIotaOzA00cgxlwSgJrZwhJkATsvfyUAHFnc_lLkTg3PDVcHRq2wsIlU-mNyFSXveKMljAYO6WAucv5ZU/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnsAqTMYLnaSRVFWrZgq_dJApz0zllMW_YHB5IfN-rvo2q7fCMA4OXcxNag0OIotaOzA00cgxlwSgJrZwhJkATsvfyUAHFnc_lLkTg3PDVcHRq2wsIlU-mNyFSXveKMljAYO6WAucv5ZU/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span style="color: #990000;"><u><i><span style="font-size: large;"><b>Función Sobreyectiva.-</b></span></i></u></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1b68ItzHz2Bi-3DQS0wPcVeeJK7UC0SwBF_au3SifzhBEXK_-k0b1himL1kI5yAihGwe8l5VxnbUz334O2aICFC4LHZJAXf5NSywl3dJxh2RhSicxuC_kfTNtzNZUG0lXNIfuEDVms0g/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1b68ItzHz2Bi-3DQS0wPcVeeJK7UC0SwBF_au3SifzhBEXK_-k0b1himL1kI5yAihGwe8l5VxnbUz334O2aICFC4LHZJAXf5NSywl3dJxh2RhSicxuC_kfTNtzNZUG0lXNIfuEDVms0g/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
Una epiyección o sobreyección de \(A\) en \(B\) es toda función \(f\) de \(A\) en \(B\), de modo que todo elemento del codominio \(B\) es imagen de, al menos, un elemento del dominio \(A\). Cada elemento de \(B\) es imagen de por lo menos un elemento de \(A\). Se verifica que los elementos del conjunto \(A\) es mayor o igual a los elementos del conjunto \(B\). En otras palabras, en este caso el codominio es igual al recorrido. <br />
Algebraicamente se define como; \( \forall y \in Y\) \( \exists x \in X : f(x)=y \)<br />
<br />
Aquí un ejemplo y contraejemplo; \(f \) es sobreyectiva y \(g\) no lo es. <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj23AxG1pqqutVzEfh1txmyqrqi4mBHHA7y1dANNquP9nmE9U6blUy47MaN65E-G5yA3sNj4RewbE0utPGH1ADo1feE-u7JYy9msXFF1yafQKoR6QEDEugIxi6EZr_tln5_4x93n7sJJgY/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj23AxG1pqqutVzEfh1txmyqrqi4mBHHA7y1dANNquP9nmE9U6blUy47MaN65E-G5yA3sNj4RewbE0utPGH1ADo1feE-u7JYy9msXFF1yafQKoR6QEDEugIxi6EZr_tln5_4x93n7sJJgY/s1600/Captura.PNG" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
La función \(f(x)=x+1\) es sobreyectiva.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7YDGJ2Zo8jugu4F6RqFg-gom2xEJo0N5of9vA-CZXnvFFSI4TVhvpOPsuN44kQDQvK4M-tkIhSZTLRcmTDIiZ6Y4lEm3TmzQ644rw_i7RjpQVAC9gFCnkC7SJIqGIdSAptOjL6IyC5Nw/s1600/funcion-sobreyectiva-ejemplo-si.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7YDGJ2Zo8jugu4F6RqFg-gom2xEJo0N5of9vA-CZXnvFFSI4TVhvpOPsuN44kQDQvK4M-tkIhSZTLRcmTDIiZ6Y4lEm3TmzQ644rw_i7RjpQVAC9gFCnkC7SJIqGIdSAptOjL6IyC5Nw/s320/funcion-sobreyectiva-ejemplo-si.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Contraejemplo:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
\( f(x) = x^2\) No es Sobreyectiva. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkjPjNXQlu_PrMYw88uzd5RLAFxh8OnIjNmBr_p4oh1Gj3R7RFEu4sRwZ1nMpzJspJ72AIp38MvFSAFJxuIk3jUpTL6_H1uD8B6pHh1VeIbmZJN-2rzdv9rjl1xycfjHfcB9aMMIWvMCI/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkjPjNXQlu_PrMYw88uzd5RLAFxh8OnIjNmBr_p4oh1Gj3R7RFEu4sRwZ1nMpzJspJ72AIp38MvFSAFJxuIk3jUpTL6_H1uD8B6pHh1VeIbmZJN-2rzdv9rjl1xycfjHfcB9aMMIWvMCI/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span style="color: #990000;"><u><i><span style="font-size: large;"><b>Función Biyectiva.-</b></span></i></u></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjivTdwneX1hBf9tW49nk0EZQdybyHO5RswddUqE4lwD28YBdpkbVAotsEun6xRqlvAwQU_BKSaLrSvHyE0dn-7eJwTujL_qvyE98NQ6brzcU1Hih6yK56cFox5bFhNGKcicgq2tD3EvUY/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="243" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjivTdwneX1hBf9tW49nk0EZQdybyHO5RswddUqE4lwD28YBdpkbVAotsEun6xRqlvAwQU_BKSaLrSvHyE0dn-7eJwTujL_qvyE98NQ6brzcU1Hih6yK56cFox5bFhNGKcicgq2tD3EvUY/s320/Captura.PNG" width="320" /></a></div>
<br />
Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. Si cumple que sea Inyectiva y sobreyectiva a la vez, se verifica que la cardinalidad del conjunto \(A\) es igual a la cardinalidad del conjunto \(B\).<br />
Algebraicamente la biyectividad se define como: \( \forall y \in Y\): \( \exists ! x \in X / f(x)=y \)<br />
Es decir, si para todo \(y\) de \(Y\) se cumple que existe un único \(x\) de \(X\), tal que la función evaluada en \(x\) es igual a \(y\).<br />
<br />
Ejemplos;<br />
\( f(x) = 2 – x\) es biyectiva.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpD_wWbb1Lja16Rua2l0cUHGjJYHPPLrMIajnSEDlpoThh9gsG3Z5rlxP6FIy56i5RII8x7Pe_pnK-pAzfMxYOZTbmcGylXcxGBD_KMXq_vfJGto69F-hmXmUlfk5nA7j0hNNPObM6ego/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpD_wWbb1Lja16Rua2l0cUHGjJYHPPLrMIajnSEDlpoThh9gsG3Z5rlxP6FIy56i5RII8x7Pe_pnK-pAzfMxYOZTbmcGylXcxGBD_KMXq_vfJGto69F-hmXmUlfk5nA7j0hNNPObM6ego/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
Contraejemplo: <br />
\( f(x) = x^2\) No es biyectiva.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkjPjNXQlu_PrMYw88uzd5RLAFxh8OnIjNmBr_p4oh1Gj3R7RFEu4sRwZ1nMpzJspJ72AIp38MvFSAFJxuIk3jUpTL6_H1uD8B6pHh1VeIbmZJN-2rzdv9rjl1xycfjHfcB9aMMIWvMCI/s1600/Captura.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkjPjNXQlu_PrMYw88uzd5RLAFxh8OnIjNmBr_p4oh1Gj3R7RFEu4sRwZ1nMpzJspJ72AIp38MvFSAFJxuIk3jUpTL6_H1uD8B6pHh1VeIbmZJN-2rzdv9rjl1xycfjHfcB9aMMIWvMCI/s1600/Captura.PNG" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgW-Zwif8u_3Oq4UCC_CFoxsIk1x9Byko_LcbnJrodKbQoHY8xZIJxEH_74H3TV8875jVUN-su6Atfqr1lSSiwnn72lNUXMt6oMguIXEHJ2ET2tH5Pys8-xAChtrKF_BxOLAjiLKitdQ54/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/01330839764032798018noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-75174421793457698142016-01-21T21:02:00.000-08:002016-01-21T21:45:36.447-08:00Guías CEPECH 2015 PDF<br />
<div style="text-align: center;">
<img border="0" src="http://1.bp.blogspot.com/-gNeVDYLATmc/UBbRIYg4Z5I/AAAAAAAAHDc/OMIgsCNbkT8/s320/fotocepech.jpg" /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El objetivo de Cpech es que todos sus estudiantes de 1° a 4° Medio, se apropien de un método para analizar preguntas de cualquier área y seleccionar la estrategia apropiada para su resolución. Estas preguntas pueden corresponder a pruebas de los niveles de Educación Media en las diferentes áreas o a la Prueba de Selección Universitaria (PSU).<br />
Con este fin, todos los programas que ofrece Cpech cuentan con: guías de ejercicios impresos, resolución de estos en sitio web; evaluaciones de diagnóstico, de avance y finales; informes individuales y colectivos.<br />
Lo que aquí comparto son las guías correspondientes al año 2015. El servidor disponible para descargar las guías son Uploaded y 4shared.</div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://www.fmat.cl/" target="_blank">Fuente</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Contenido:</b></div>
<div style="text-align: center;">
ACOMPAÑAMIENTO ANUAL</div>
<div style="text-align: center;">
ESTÁNDAR ANUAL</div>
<div style="text-align: center;">
EGRESADOS ANUAL</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Contraseña:</b> matematicalatex<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://ul.to/gabso1g7" target="_blank"><img alt="http://ul.to/gabso1g7" border="0" height="81" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSFkvlZqNuRKHhps_r1J1-Y8cI-WASBtRbPvibrFrIt5DcVyVMTgb4_cNDlJ4LQI7088-VwIPiYzfjYVcH4hKjUxyYBRVZ4ZutvBraiNVDwLp9DNVs8Qh37j4Clmnm8NacGEAQJ0ZF_pA/s320/descargar+uploaded.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.4shared.com/zip/yroY3H6dce/Cepech2015.html" target="_blank"><img alt="http://www.4shared.com/zip/yroY3H6dce/Cepech2015.html" border="0" height="79" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnODPnXWkcMGppkYEFDoHMwR-5HP-GTcxaU7yGI7hqIbCUm8vm4FSRX75gqQGEssVPQZUyJrZim-UIKp4Afe0PWxzdFHUD_cfFecbl4fRVumvThUaS5T4Solpm2sSEZWoztHSB6TNMfco/s320/Descarga+4Shared.png" width="320" /></a></div>
</div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-39308855216693009972016-01-21T18:26:00.000-08:002016-01-21T18:26:50.791-08:00Guías CEPECH 2012 Matemáticas PDF<div style="text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-gNeVDYLATmc/UBbRIYg4Z5I/AAAAAAAAHDc/OMIgsCNbkT8/s320/fotocepech.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://1.bp.blogspot.com/-gNeVDYLATmc/UBbRIYg4Z5I/AAAAAAAAHDc/OMIgsCNbkT8/s320/fotocepech.jpg" /></a><br />
<br />
Material CEPECH 2012<br />
Las espectaculares Guias de matemática del preuniversitario cepech a disposicion de descarga.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Contendido:</b></div>
<div style="text-align: center;">
<div class="spoilerbody" style="display: block;">
<ul class="bbc_list">
<li>Guía 1.- Introducción a la aritmética (con solucionario)</li>
<li>Guía 2.- Introducción al álgebra (con solucionario)</li>
<li>Guía 3.- Conjuntos numéricos I (con solucionario)</li>
<li>Guía 4.- Conjuntos numéricos II (con solucionario)</li>
<li>Guía 5.- Recapitulación de conjuntos numéricos (con solucionario)</li>
<li>Guía 6.- Potencias y raíces (con solucionario)</li>
<li>Guía 7.- Recapitulación de Conjuntos numéricos, potencias y raíces (con solucionario)</li>
<li>Guía 8.- Álgebra (con solucionario)</li>
<li>Guía 9.- Recapitulación de Álgebra (con solucionario)</li>
<li>Guía 10.- Ecuaciones y sistemas de ecuaciones (con solucionario)</li>
<li>Guía 11.- Recapitulación de álgebra, ecuaciones y sistemas de ecuaciones (con solucionario)</li>
<li>Guía 12.- Inecuaciones lineales (con solucionario)</li>
</ul>
<a href="http://www.mediafire.com/?bw8fy9to7c5aw" target="_blank">Descarga Mediafire</a> <br />
<br />
<br />
<b> Contenido:</b><br />
<div class="spoilerbody" style="display: block;">
<ul class="bbc_list">
<li>Guía 1.- Presentación a la PSU de matemáticas (con solucionario)</li>
<li>Guía 2.- Introducción a la geometría (con solucionario)</li>
<li>Guía 3.- Ángulos y polígonos (con solucionario)</li>
<li>Guía 4.- Triángulos I (con solucionario)</li>
<li>Guía 5.- Triángulos II (con solucionario)</li>
<li>Guía 6.- Recapitulación de ángulos, polígonos y triángulos (con solucionario)</li>
<li>Guía 7.- Trigonometría (con solucionario)</li>
<li>Guía 8.- Cuadriláteros I (con solucionario)</li>
<li>Guía 9.- Cuadriláteros II (con solucionario)</li>
<li>Guía 10.- Recapitulación de Cuadriláteros (con solucionario)</li>
<li>Guía 11.- Circunferencia y círculo I (con solucionario)</li>
<li>Guía 12.- Circunferencia y círculo II (con solucionario)</li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<a href="http://www.mediafire.com/?1n5pc9hoidv5g" target="_blank">Descarga Mediafire</a></div>
<br />Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-26453955620494477132016-01-18T21:53:00.000-08:002016-01-18T21:53:06.357-08:00Calculo Vectorial, Pedro Valenzuela - UFRO<div style="text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-bsHWGS8YPj8/UAhkqBFGTNI/AAAAAAAAG_8/J-sEdom0EGs/s320/Ufro.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-bsHWGS8YPj8/UAhkqBFGTNI/AAAAAAAAG_8/J-sEdom0EGs/s320/Ufro.jpg" /></a><br />
<br />
Calculo Vectorial Pedro Valenzuela (PH)</div>
<div style="text-align: center;">
Cuaderno interactivo de calculo avanzado tercer semestre de ingenierias civil en la Universidad de la Frontera Temuco.</div>
<div style="text-align: center;">
<br />
<b>Opcion 1</b></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://docs.google.com/open?id=0BxHCUoTzelRgai1GMkYyeUE4VHM" target="_blank">vectores.pdf</a> ( 944.28k ) </div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://docs.google.com/open?id=0BxHCUoTzelRgSFFnZFBqYmhMYUE" target="_blank">calculo_vectorial_II_parte.pdf</a> ( 2.51mb ) </div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://docs.google.com/open?id=0BxHCUoTzelRgWU0zdU9KbzhLU2M" target="_blank"> calculo_vectorial_III_parte.pdf</a> ( 893.14k ) </div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://docs.google.com/open?id=0BxHCUoTzelRgLU1ELUVBVDVhcnc" target="_blank">calculo_vectorial_IV_parte.pdf</a> ( 1.8mb )</div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-5995791419111612732016-01-18T21:38:00.003-08:002016-01-18T21:44:42.475-08:00Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg2ITuuH8sqJMc6K4orxAPMAPVd9UdkjwlbTVfIvLS4vuIrWusxtRoKa8JXkU4Db8E-FnJtkuDsMNbJ6VdY62TqbL5atHpqflwwB84V9ojwkJYecbSpKPfTsk6vpr9CpnzZKOWYmDBBik/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="176" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg2ITuuH8sqJMc6K4orxAPMAPVd9UdkjwlbTVfIvLS4vuIrWusxtRoKa8JXkU4Db8E-FnJtkuDsMNbJ6VdY62TqbL5atHpqflwwB84V9ojwkJYecbSpKPfTsk6vpr9CpnzZKOWYmDBBik/s320/Captura.PNG" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Prólogo:</b> Este libro está escrito pensando en un estudiante real que también es, en algunos aspectos, un estudiante ideal. Es un estudiante llegado hace poco a la Universidad, quizá recién llegado, que cursa estudios en alguna ingeniería o licenciatura científico – técnica y debe enfrentarse a una difícil asignatura de cálculo diferencial e integral. Debe ser difícil, porque son muy pocos quienes logran aprobarla en un sólo año y es muy alto el porcentaje de abandono. Con este libro quiero ayudarle en sus estudios de Cálculo o Análisis Matemático, no solamente para que logre una buena calificación sino para que saque de ellos el mayor provecho e incluso aprenda a disfrutarlos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<b> | 688 Páginas | PDF Online | Autor: Francisco Javier Pérez González | Distribución Libre |</b></div>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="714" marginheight="0" marginwidth="0" scrolling="no" src="//www.slideshare.net/slideshow/embed_code/key/qvdgGT7yE6nMAW" style="border-width: 1px; border: 1px solid #ccc; margin-bottom: 5px; max-width: 100%;" width="668"> </iframe> <br />
<div style="margin-bottom: 5px;">
<b> </b></div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-80319495054955424052016-01-18T21:20:00.001-08:002016-01-18T21:46:24.598-08:00Ejercicios resueltos de Límites y continuidad<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsBmzVca24OMYzRzp48vqjrlGgUhHHNbah4PtzjB5Dkm0CyE3687NK1AOWi8jrMZMPX45PSMjT_DzxFDcSFLCGk66YPhFBwY4KGNuymySNQhXriEKUzQOowDrC7YpXoiqujv4GG4b3GGY/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsBmzVca24OMYzRzp48vqjrlGgUhHHNbah4PtzjB5Dkm0CyE3687NK1AOWi8jrMZMPX45PSMjT_DzxFDcSFLCGk66YPhFBwY4KGNuymySNQhXriEKUzQOowDrC7YpXoiqujv4GG4b3GGY/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
El siguiente documento presenta una gran variedad de ejericicos resueltos de límites y continuidad. Contenido introductorio al cálculo. El autor del documento es el Dr. José Luis Díaz Gómes. Espero sea de ayuda para sus estudios.</div>
<div style="text-align: justify;">
El límite es muy importante a la hora de estudiar funciones porque nos introduce al mundo del “cálculo infinitesimal”, una herramienta muy importante tanto para las Matemáticas como para la Física.<br />Cuando calculamos el límite lo que queremos averiguar es a qué valor tiende una función. El límite es siempre una tendencia: x sólo se acerca al valor al que tiende pero nunca puede ser igual.<br />En Matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del Cálculo diferencial matemático. </div>
<br />
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="714" marginheight="0" marginwidth="0" scrolling="no" src="//www.slideshare.net/slideshow/embed_code/key/9JkEg66KhtsSPh" style="border-width: 1px; border: 1px solid #ccc; margin-bottom: 5px; max-width: 100%;" width="668"> </iframe> <br />
<div style="margin-bottom: 5px;">
<b> </b></div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-30592149586910854952016-01-18T21:05:00.001-08:002016-01-18T21:05:02.274-08:00801 ejercicios resueltos de integral indefinida<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLYuSQEFkuomzyeuU2TiXEZcXS4eP46Lja6r6fFFVURgT3_OdBD7WWwtzT7ICYZpQnrH-xWtaBHrWfHGKH064PiR4h9x6PqEbR41IZcmBPknsPZxXFX0XDbzWlKzP3UdzEBYjVZPTyBGM/s1600/801+ejercicios+de+integral+indefinida.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLYuSQEFkuomzyeuU2TiXEZcXS4eP46Lja6r6fFFVURgT3_OdBD7WWwtzT7ICYZpQnrH-xWtaBHrWfHGKH064PiR4h9x6PqEbR41IZcmBPknsPZxXFX0XDbzWlKzP3UdzEBYjVZPTyBGM/s1600/801+ejercicios+de+integral+indefinida.PNG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Descripción:</b> El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento de complementación, para la práctica
indispensable en el tópico relativo a las integrales indefinidas. En
este contexto, el buen uso que se haga del mismo llevará a hacer una
realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El
trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una
experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de
la activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien
de su veredicto al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la
crítica constructiva o la observación fraterna, por lo cual desde ya
agradecemos todo comentario al respecto.</div>
<div style="text-align: center;">
Ejercicios Resueltos de Integrales</div>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="714" marginheight="0" marginwidth="0" scrolling="no" src="//www.slideshare.net/slideshow/embed_code/key/1AFcWGCfWHzPwa" style="border-width: 1px; border: 1px solid #ccc; margin-bottom: 5px; max-width: 100%;" width="668"> </iframe> <br />
<div style="margin-bottom: 5px;">
<b> 801 integrales indefinidas</b> from <b>MatematicaLaTeX</b> </div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-53931414454332909782016-01-16T15:40:00.000-08:002017-09-24T15:24:42.510-07:00Análisis dominio y recorrido en una FunciónLa función \( f \) representada en el diagrama de abajo, el dominio, codominio y recorrido de la función son, respectivamente:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNw2k08ZWNNGCudivgGIwyoyGIl6A2ACkqo2Cyg7j2LdX7fUbi6atbC7g_iupzxqrySNpobSs9LlARGQRAuKp4-mGAceoCBnRTOjXDZSLqJ4SGwn-rKBaHMx3IMXGbdMNrqd6O0TPT7Zo/s1600/Relaci%25C3%25B3n+dominio+y+recorrido-+matematica.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="231" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNw2k08ZWNNGCudivgGIwyoyGIl6A2ACkqo2Cyg7j2LdX7fUbi6atbC7g_iupzxqrySNpobSs9LlARGQRAuKp4-mGAceoCBnRTOjXDZSLqJ4SGwn-rKBaHMx3IMXGbdMNrqd6O0TPT7Zo/s320/Relaci%25C3%25B3n+dominio+y+recorrido-+matematica.PNG" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<ul>
<li>\( Dom f= \lbrace 10, 20, 25 \rbrace \)</li>
<li>\( Codom f= \lbrace 250, 1 000, 1 500, 1 750, 2 000 \rbrace\)</li>
<li>\( Rec f= \lbrace 250, 1 000, 1 500 \rbrace \)</li>
</ul>
Además, como por ejemplo \( f(10) = 250 \), entonces \( 250 \) es la imagen <br />
de \(10 \), o bien, \(10\) es la preimagen de \( 250 \).<br />
<br />
Analicemos ; \( f(x) = \frac{6}{x - 5} \)<br />
En
este caso \( x \) no puede ser igual a \(5\), ya que la función se
indefiniría. Por lo tanto, el \(dominio \) de la función es el conjunto
de los números reales menos el cinco.<br />
<br />
<ul>
<li>\(Dom f = R– \lbrace 5 \rbrace\)</li>
</ul>
<br />
Para encontrar el \(recorrido\), una de las estrategías es convertir la función en una ecuación, donde analizaremos los valores que puede tomar \(y\) despejando \(x\).<br />
\( f(x) = \frac{6}{x - 5} \)<br />
\( y = \frac{6}{x - 5} \)<br />
El siguiente paso, es dejar la ecuación en función de \(y\).<br />
\( y = \frac{6}{x - 5} \)<br />
\( y
\cdot (x-5) = 6 \) <br />
\( y
\cdot x - y \cdot 5 = 6 \)<br />
\( y
\cdot x = 6 + y \cdot 5\) <br />
\( x = \frac{6 + 5 \cdot y}{y }\)<br />
<br />
Por lo tanto, podemos ver que el valor que no puede tomar \(y\) es cero, porque la función se indefine. En este caso, el \(recorrido\) de la función son todos los reales menos el cero.<br />
<ul>
<li>\(Rec f = R - \lbrace 0 \rbrace\)</li>
</ul>
<ul>
</ul>
Si ahora analizamos la función \(f(x) = x^2 + 3\), trivialmente podemos decir que el \(dominio \) son todos los reales, porque \( x \) puede tomar cualquier valor sin indefinirse la función. <br />
<ul>
</ul>
<ul>
<li>\(Dom f = R\)</li>
</ul>
<ul>
</ul>
Para analizar el \(recorrido\) , utilizamos la misma estrategía.<br />
\(f(x) = x^2 + 3\)<br />
\(y = x^2 + 3\)<br />
\(y - 3= x^2 \) Aplicamos \(\sqrt[]{} \)<br />
\( \sqrt[]{y - 3} = x \)<br />
<br />
Al analizar los valores que puede tomar \(y\), decimos que el \(recorrido\) son todos numeros reales mayor o igual a 3.<br />
<ul>
<li>\(Rec f = x
\geq 3 / x
\in R \)</li>
</ul>
<br />
Veamos otra situación, \( f(x) = \sqrt[]{x + 4} \)<br />
Aquí los valores que puede corresponder a \( x \), son valores mayores o iguales que cuatro.<br />
Matemáticamente decimos que el \(dominio \) se define como:<br />
<br />
<ul>
<li>\(Dom f = x
\geq 4 / x
\in R \)</li>
</ul>
Vamos al \(recorrido\).<br />
\( f(x) = \sqrt[]{x + 4} \)<br />
\( y = \sqrt[]{x + 4} \) <br />
Al elevar al cuadrado ambos miembros tenemos com resultado: <br />
\( y^2 = x + 4 \)<br />
\( y^2- 4 = x \)<br />
<br />
Los valores que puede obtener \(y\) son todos los reales, ya que no hay ninguna restricción para la función. Osea, el recorrido es:<br />
<ul>
<li>\(Rec f = R\)</li>
</ul>
El análisis del recorrido y dominio de una función también se puede hacer con su respectiva gráfica en el plano cartesiano. Se observa el comportamiento de la función y listo. <br />
Eso es todo, espero les haya gustado.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/01330839764032798018noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-49636966596472382422016-01-13T17:52:00.000-08:002016-10-05T11:26:50.909-07:00Propiedades Teoría de ConjuntosEn toda carrera universitaria, sobre todo aquella relacionada a la ingeniería debe estudiar Teoría de Conjuntos.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSRcv5R8SQCYXy6ybXU5eDJC8B6NhRlMzQnntlYCLcSK3jbQT6HPTaVXzvsR-i3prLL-RwWK0c_Yj_oHgGPInYPfTksIa13kGUcU3zqGkRttu-1W3qW4J1hdUWHwo09iBLC531wXc1G0c/s1600/images.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSRcv5R8SQCYXy6ybXU5eDJC8B6NhRlMzQnntlYCLcSK3jbQT6HPTaVXzvsR-i3prLL-RwWK0c_Yj_oHgGPInYPfTksIa13kGUcU3zqGkRttu-1W3qW4J1hdUWHwo09iBLC531wXc1G0c/s400/images.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.</div>
<br />
A continuación presento las Leyes de Operaciones de Conjuntos:<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">1.</span> \( (A´)´ = A \)</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">2.1</span> \( \phi ´= U \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">2.2 </span> \( U´ = \phi \)</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">3.</span> \( A - A = \phi, A - \phi = A, A - B = A \cap B´ \)</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">4.1</span> \( A \cup \phi = A \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">4.2 </span>\( A \cap U = A \)</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">5.1</span> \( A \cup U = U \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">5.2 </span>\( A \cap \phi = \phi \)</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">6.1 </span> \( A \cup A = A \) <br />
<span style="color: #cc0000;">6.2 </span>\( A \cap A = A \)</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;">7.1</span> \( A \cup A´ = U \) <br />
<span style="color: #cc0000;">7.2 </span>\( A \cap A´ = \phi \)</div>
<br />
Leyes Asociativas.-<br />
<br />
<span style="color: #cc0000;">1.1</span> \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">1.2</span> \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)<br />
<br />
Leyes Conmutativas.- <br />
<br />
<span style="color: #cc0000;">1.1</span> \( A \cup B = B \cup A \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">1.2</span> \( A \cap B = B \cap A \)<br />
<br />
Leyes Distributivas.- <br />
<br />
<span style="color: #cc0000;">1.1</span> \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">1.2</span> \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)<br />
<br />
Leyes de Morgan.-<br />
<br />
<span style="color: #cc0000;">1.1</span> \( (A \cup B)´ = A´ \cap B´ \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">1.2</span> \( (A \cap B)´ = A´ \cup B´ \)<br />
<span style="color: #cc0000;">1.3</span> \( A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C) \) <span style="color: #cc0000;"> </span><br />
<span style="color: #cc0000;">1.4</span> \( A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) \)Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-77939096762933137672016-01-10T14:23:00.001-08:002016-01-16T19:27:41.923-08:00Operaciones de Fracciones<span style="color: #0b5394;"><b><span style="font-size: large;">Historia</span></b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia. </div>
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZAooPgT9TGQBrzHhM-iSLf9aS9eqSEYgilQqO-li-xzd1NYUgo2F1sgO4eV7b_fTf6DqFeXpYtx7DNJlUommGX1vQy_7uwDUGSp45AftuoBmSdRLe2WWKHaO59gnVo1AaqfLJD04WiJM/s1600/flores+a+la+mitad.gif" imageanchor="1"><img border="0" height="178" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZAooPgT9TGQBrzHhM-iSLf9aS9eqSEYgilQqO-li-xzd1NYUgo2F1sgO4eV7b_fTf6DqFeXpYtx7DNJlUommGX1vQy_7uwDUGSp45AftuoBmSdRLe2WWKHaO59gnVo1AaqfLJD04WiJM/s320/flores+a+la+mitad.gif" width="320" /></a><br />
En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los <br />
números racionales en la vieja Europa.<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #0b5394;"><b>Operaciones de Fracciones.</b></span></span><br />
<br />
<b>1.1</b> <span style="color: #cc0000;"><b>Suma y resta de Fracciones: Con el mismo denominador.</b></span><br />
Se suman los denominadores y se conserva el denominador.<br />
\( \frac{a}{b} \pm \frac{c}{b}=\frac{a \pm c}{b} \)<br />
<br />
Ejemplo:<br />
Suma: \( \frac{6}{12} + \frac{2}{12}= \frac{6 + 2}{12} = \frac{8}{12} \)<br />
<br />
Resta: \( \frac{6}{12} - \frac{2}{12}= \frac{6 - 2}{12} = \frac{4}{12} \) <br />
<br />
<b>2.1 <span style="color: #cc0000;">Suma y resta de Fracciones: Con el distinto denominador.</span></b><br />
Se busca una fracción equivalente de ambas con el fin de tener iguales denominadores. <br />
\( \frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a\cdot d \pm b\cdot d }{b\cdot d} \)<br />
<br />
Ejemplo:<br />
Suma: \( \frac{4}{3} + \frac{2}{5}=\frac{20 + 6}{15} = \frac{26}{15} \) <br />
<br />
Resta: \( \frac{4}{3} - \frac{2}{5}=\frac{20 - 6}{15} = \frac{24}{15} \) <br />
<br />
Nota: En ambas, el resultado se puede simplificar.<br />
<br />
<b>3.</b> <b><span style="color: #cc0000;">Multiplicación de Fracciones.</span></b><br />
La multiplicación es directa, numerador con numerador y denominador con denominador.<br />
\( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d} \)<br />
<br />
Ejemplo:<br />
\( \frac{6}{7} + \frac{2}{6}=\frac{12}{42} \)<br />
<br />
<b>4.</b> <span style="color: #cc0000;"><b>División de Fracciones.</b></span><br />
Se invierte la segunda fracción y se procede a multiplicar directamente el numerador con el numerador, y denominador con el denominador.<br />
\( \frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d} \)<br />
<br />
Ejemplo:<br />
\( \frac{6}{3} : \frac{2}{8}=\frac{6\cdot 8 }{3\cdot 2 } = \frac{48}{6} \)Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-79141694308343923782015-08-30T18:13:00.000-07:002016-01-16T19:28:20.090-08:00Triángulos: Según ángulos y lados<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Un triángulo puede clasificarse <b>según los ángulos</b> que contiene. Un triángulo <b>acutángulo</b> contiene solo ángulos agudos. Un triángulo <b>rectángulo</b> contiene un ángulo recto. Un triángulo <b>obtusángulo</b> contiene un ángulo obtuso.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEz_4ycymqAR7o0V1Nc1wRXRCihJlPHfojGqCQhmLHs_9n9Fw8kRDhlJqHhrzuSjo9FgcuKGX5lBaWzmuoXbP3XcQzGHq1kHSyEhzqSDQGgtNMGkUxW3G7mA0wu7Q6b-qsF37-UQow9l4/s1600/Captura1.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="116" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEz_4ycymqAR7o0V1Nc1wRXRCihJlPHfojGqCQhmLHs_9n9Fw8kRDhlJqHhrzuSjo9FgcuKGX5lBaWzmuoXbP3XcQzGHq1kHSyEhzqSDQGgtNMGkUxW3G7mA0wu7Q6b-qsF37-UQow9l4/s400/Captura1.PNG" width="400" /></a></div>
<span id="goog_314341718"></span><span id="goog_314341719"></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=4886455260924156452" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a>Un triángulo también puede clasificarse <b>según las longitudes </b>de sus lados. Los lados que tienen la misma longitud son <b>congruentes.</b> Un triángulo <b>equilátero</b> tiene tres lados congruentes. Un triángulo <b>isósceles</b> tiene exactamente dos lados congruentes. Un triángulo <b>escaleno</b> no tiene lados congruentes.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTTkjwXZqaF3i2myC63Go0ZUniSolfc2K8qRY3j_UeLc_ilfW2DiyZjPdoPxJ5hIgUn1Qn0LCY2D4tTd8XbDpzJkYp5v7a3G5ojDl6N540cI1Vha3BGTGdmHt8_kWolpO3LTnaX8bxOyg/s1600/Captura2.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="106" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTTkjwXZqaF3i2myC63Go0ZUniSolfc2K8qRY3j_UeLc_ilfW2DiyZjPdoPxJ5hIgUn1Qn0LCY2D4tTd8XbDpzJkYp5v7a3G5ojDl6N540cI1Vha3BGTGdmHt8_kWolpO3LTnaX8bxOyg/s400/Captura2.PNG" width="400" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDv8AuQJKc80wmJ4F1-HvecFnqcZkpvU7c7lp5ABh0u_Je_QsY1Nkv0daUFDNxyuz_u7VgcotIrOoiDM0_mDdcR7hXxHz4lMo0jFeYkrrtvzXAJYPfTyrh9WA6WpaSEubIAB-8p5Zs0SM/s1600/Captura3.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="147" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDv8AuQJKc80wmJ4F1-HvecFnqcZkpvU7c7lp5ABh0u_Je_QsY1Nkv0daUFDNxyuz_u7VgcotIrOoiDM0_mDdcR7hXxHz4lMo0jFeYkrrtvzXAJYPfTyrh9WA6WpaSEubIAB-8p5Zs0SM/s400/Captura3.PNG" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ5BHQmuIdX6qlLq0d18pKHtMyqxCnbLSWMSjeHdp7DcL4LbaTHiCUKvehiqwFeNsNHS5TAugFb2zo-fMaeUrAh9s_Nepf2jPuryw3Gjv-Tzzl2zmElQwTQcV9K0MACJeHXNwFnwSji6U/s1600/Captura5.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="176" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ5BHQmuIdX6qlLq0d18pKHtMyqxCnbLSWMSjeHdp7DcL4LbaTHiCUKvehiqwFeNsNHS5TAugFb2zo-fMaeUrAh9s_Nepf2jPuryw3Gjv-Tzzl2zmElQwTQcV9K0MACJeHXNwFnwSji6U/s400/Captura5.PNG" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn_UbC3eVsqtDDYChrPwfMY1NtiF9IgiFEmuNAgXzKoNbpNjwMtuyLNZWFaMMReQlLVZL8bFzzNa8bZVvIhsy1WAw9SeDjM56F92fA77sSGohAZmWnQMjbT3YFkowxOur0TGXR95DaBdQ/s1600/Captura6.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="171" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhn_UbC3eVsqtDDYChrPwfMY1NtiF9IgiFEmuNAgXzKoNbpNjwMtuyLNZWFaMMReQlLVZL8bFzzNa8bZVvIhsy1WAw9SeDjM56F92fA77sSGohAZmWnQMjbT3YFkowxOur0TGXR95DaBdQ/s400/Captura6.PNG" width="400" /> </a> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Aquí algunas utilidades que se les da a los triángulos en la vida cotidiana, sobre todo en construcción:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm_8iYvugWD9Nw2iXb9KwJHYhiWMSh60afyEvb93EnItYBM9HfEwS3ObDGFQUJoR7HOfNTqLxCCHisT-68duHXMoC1T-GQvovbtsSXrdBexQ1s2QEGqWl6QVjLDWPpgpcrrov11C0-FmU/s1600/2405849399_9a73e8ea8a.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm_8iYvugWD9Nw2iXb9KwJHYhiWMSh60afyEvb93EnItYBM9HfEwS3ObDGFQUJoR7HOfNTqLxCCHisT-68duHXMoC1T-GQvovbtsSXrdBexQ1s2QEGqWl6QVjLDWPpgpcrrov11C0-FmU/s200/2405849399_9a73e8ea8a.jpg" width="197" /></a></div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnXfm4gSn3893I9apyYiQIRGnaXkgv47W9c3QL27s8MH-R7C-mebclxV9Fg_U06W_OkXkifRVp59hvFP4SNqgJiMImxk0ihydfaBVP3Z1pNADBmKjoIhesLuDS8RX1Oy9KRy_EmjPaDIk/s1600/Christchurch-Cardboard-Cathedral-Shigeru-Ban-3.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnXfm4gSn3893I9apyYiQIRGnaXkgv47W9c3QL27s8MH-R7C-mebclxV9Fg_U06W_OkXkifRVp59hvFP4SNqgJiMImxk0ihydfaBVP3Z1pNADBmKjoIhesLuDS8RX1Oy9KRy_EmjPaDIk/s320/Christchurch-Cardboard-Cathedral-Shigeru-Ban-3.jpg" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/01330839764032798018noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-45831323973917344872015-08-30T16:42:00.000-07:002017-09-19T17:26:16.519-07:00Ángulos entre paralelas<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsPV8PvBc1kfp9-tAs8ZLOgkFRBbFA8V7_DSnwX2KmYKT5YMxb73WeYObUK4odd8BCaYoF7Js7Tg9HQZDd2qlSO3szZrB2Mn8ERf4W0y2oCTJZUFC8vfH0rIx2nXd3qcj6s0uYlxrZ5GI/s1600/descarga.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" data-original-height="253" data-original-width="209" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsPV8PvBc1kfp9-tAs8ZLOgkFRBbFA8V7_DSnwX2KmYKT5YMxb73WeYObUK4odd8BCaYoF7Js7Tg9HQZDd2qlSO3szZrB2Mn8ERf4W0y2oCTJZUFC8vfH0rIx2nXd3qcj6s0uYlxrZ5GI/s1600/descarga.png" /></a>A continuación se presenta las propiedades de los ángulos entre paralelas, o igualdad de ángulos entre paralelas:<br />
<br />
Una línea que se intersecta con dos o más líneas se llama <b>transversal,</b> observe la figura 1.<br />
Los ángulos formados dentro de las dos líneas paralelas se llaman <b>ángulos interiores</b> y los ángulos formados fuera de las dos líneas paralelas se llaman <b>ángulos exteriores</b>.<br />
Los ángulos <3, <4, <5 y <6 son ángulos interiores.<br />
Los ángulos <1, <2, <7 y <8 son ángulos exteriores.<br />
<br />
<br />
<br />
Los <b>ángulos correspondientes</b>, son ángulos que aparecen en la misma posición en relación con una línea transversal y con las líneas que esta línea intersecta. Los ángulos correspondientes son congruentes cuando las líneas que intersecta la línea transversal son paralelas.<br />
En la figura 1; <1 y <5, <3 y <7, <2 y <6 y <4 y <8 son pares de ángulos correspondientes.<br />
<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFTTp8TxvG03cIVe2J1ja4X-8K2P-QT_9ZvmD_GZUQKsqbBlgFHtqqidPVaDtKlZFJmeBGvJVUz3T0clmmiA1P-ZrVEiO5drT7VV8ApclyYRukq8Z7fGAdwH7HvxZ2NXJpG2_0ywK_WJs/s1600/descarga+%25281%2529.png" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" data-original-height="288" data-original-width="228" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFTTp8TxvG03cIVe2J1ja4X-8K2P-QT_9ZvmD_GZUQKsqbBlgFHtqqidPVaDtKlZFJmeBGvJVUz3T0clmmiA1P-ZrVEiO5drT7VV8ApclyYRukq8Z7fGAdwH7HvxZ2NXJpG2_0ywK_WJs/s1600/descarga+%25281%2529.png" /></a>Los ángulos interiores ubicados en los lados opuestos de la línea transversal se llaman<b> ángulos alternos internos</b>. Los ángulos alternos internos son congruentes cuando las líneas que intersectan la línea transversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos <2 y <7 y los ángulos <4 y <5 son pares de ángulos alternos internos.<br />
<br />
Los ángulos exteriores ubicados en los lados opuestos de la línea transversal se llaman <b>ángulos alternos externos</b>. Los ángulos alternos externos son congruentes cuando las líneas que intersectan la línea transversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos <1 y <8 y los ángulos <3 y <6 son pares de ángulos alternos externos.<br />
<br />Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/01330839764032798018noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-51003400522078634722015-08-30T11:24:00.000-07:002016-11-09T04:58:38.011-08:00El miedo a las matemáticas es culpa de los padres<div class="text textA" itemprop="articleBody">
<div class="p" id="story-texto">
<h3 class="subhead" itemprop="description">
Según un estudio los niños no son responsables de que los números no se les den bien</h3>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj16GjH63SrruGKOSmfp-p0XGoEC2eVrLexM3Ktu2X5x_1GRJKBEyyuVA-BJ6bV-MAxHfk6oQhuMkQRK3tTAxz_Hxe1QwVxGibKBsyO2GhmU1fJgvQdjEj1loj3qVx5RdCM34mBGC-e3xU/s1600/mates--644x362.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="223" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj16GjH63SrruGKOSmfp-p0XGoEC2eVrLexM3Ktu2X5x_1GRJKBEyyuVA-BJ6bV-MAxHfk6oQhuMkQRK3tTAxz_Hxe1QwVxGibKBsyO2GhmU1fJgvQdjEj1loj3qVx5RdCM34mBGC-e3xU/s400/mates--644x362.jpg" width="400" /></a></div>
</div>
<div class="p" id="story-texto">
<br /></div>
<div class="p" id="story-texto">
Un estudio de la <a class="a" href="http://www.psychologicalscience.org/" title="Association for Psychological Science">Association for Psychological Science </a>de Washington, Estados Unidos, concluye que <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">el rechazo a las matemáticas no es una cuestión genética, ni tampoco culpa de los niños.</span>
</div>
<div class="p" id="U140230460667az">
El estudio realizado por un equipo de investigadores de la Universidad de Chicago señala que aquellos niños a cuyos <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">padres las matemáticas les cause ansiedad</span>, y que por lo tanto <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">aprendieron menos matemáticas </span>en su edad escolar, s<span style="font-style: normal; font-weight: bold;">on más proclives a desarrollar temor y rechazo a esta ciencia</span>. Aunque esto, según Sian Beilock y Susan Levine —directores de la investigación—, <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">solo</span> ocurre cuando estos padres <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">ayudan a sus hijos a hacer los deberes de matemáticas.</span><br />
<span style="font-style: normal; font-weight: bold;"> </span>
</div>
<h4 class="ladillo">
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">Los padres fomentan patrones de conducta </span></span></h4>
<div class="p" id="U140230460667DTE">
Ambos investigadores señalan que «los padres que teman las matemáticas, serán <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">menos efectivos</span> a la hora de explicar conceptos e ideas a sus hijos. Y, además, puede ocurrir que<span style="font-style: normal; font-weight: bold;"> no actúen de forma adecuada</span> si sus hijos se equivocan a la hora de resolver un problema». </div>
<div class="p" id="U140230460667j7G">
Este estudio<span style="font-style: normal; font-weight: bold;"> refuerza</span> la idea de que los <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">padres no son conscientes de cuánto afectan sus actitudes a la vida académica de sus hijos</span>,
aunque no cierran la puerta a una posible relación genética. «Nuestro
trabajo sugiere que si un padre está constantemente diciendo <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">"no me gustan las matemáticas"</span> o <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">"esto me pone nervioso"</span> los niños con capaces de <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">captar esta idea, interiorizarla y tomarla como propia</span>», apuntan los investigadores.</div>
<div class="p" id="U140230460667F9">
Así, la <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">preparación de los padres es fundamental </span>para evitar que se produzca este rechazo y «para ello es necesario <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">desarrollar</span> más y mejores<span style="font-style: normal; font-weight: bold;"> herramientas</span> cuya finalidad sea que los padres aprendan cómo ayudar a sus hijos a hacer los deberes», matizan Beilock y Levine.</div>
<div class="p" id="U14023046066774G">
Entre sus sugerencias <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">destacan</span>: herramientas como <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">libros de matemáticas,</span> la <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">informática</span> complementada con <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">juegos tradicionales</span>. Incluso se puede recurrir a <span style="font-style: normal; font-weight: bold;">aplicaciones de Internet </span>que fomenten la interacción con los hijos.</div>
<div class="p" id="U14023046066774G">
<br />
<a href="http://www.abc.es/familia-padres-hijos/20150828/abci-miedo-matematicas-culpa-padres-201508121428.html" target="_blank">Fuente</a></div>
</div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-51683034971271145962015-06-21T10:23:00.002-07:002015-06-21T10:28:10.356-07:00¿Por qué los relojes marcan las 10:10 en los anuncios?<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh87yh2PWTukpwOlYSha0ElxxAentBzf9ViN4uRMV2uSHnPPQMz_2RVu76UdwyPR_pVwhF0CbrHLOIft7bBigFp0PVfyk7DUIlqpmka_-p77HrGjHEb-r4VUnqj5lM8vlmO1g46hYR0KNA/s1600/reloj_10_08.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="222" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh87yh2PWTukpwOlYSha0ElxxAentBzf9ViN4uRMV2uSHnPPQMz_2RVu76UdwyPR_pVwhF0CbrHLOIft7bBigFp0PVfyk7DUIlqpmka_-p77HrGjHEb-r4VUnqj5lM8vlmO1g46hYR0KNA/s320/reloj_10_08.jpg" width="320" /></a></div>
<h3 style="text-align: justify;">
¿Por qué los relojes marcan las 10:10 en los anuncios?¿A qué se deben estas horas tan parecidas? </h3>
<div style="text-align: justify;">
¿Te has fijado alguna vez en que casi todos los relojes que aparecen en los anuncios marcan las 10:10 o las 10:08? Si nunca lo has hecho, puedes comprobarlo por ti mismo en <a href="https://www.google.com/search?gbv=2&hl=es&q=reloj+pulsera&btnG=Buscar+im%C3%A1genes&tbm=isch&gws_rd=ssl" target="_blank">Google Images.</a> <br />
<br />
En definitiva se debe a diversos efectos psicológicos y estéticos muy estudiados:<br />
– Las <b>manillas forman un “tick”</b> o “check”, que significa “aceptable” o “ok”. También puede identificarse la posición de las manillas como una sonrisa.<br />
– La posición de las agujas <b>no tapa ni el logo del fabricante ni el calendario</b>, ubicado normalmente a las 9 (cuando está a la izquierda) o a las 3 (cuando se sitúa a la derecha).<br />
– <b>La gente se suele levantar a las 10 de la mañana cuando no tiene que ir a trabajar por que es fin de semana o festivo</b>. En el caso del reloj Casio de la derecha de la imagen podemos ver que el día está fijado como “SUN” (domingo) y que el calendario marca el 30 de junio, para muchos, el comienzo de las vacaciones. Este mensaje subliminal crea una sensación agradable en el posible comprador.<br />
– Si dibujamos un rectángulo dentro de la esfera con el límite marcado por el minutero, éste sería aproximadamente un <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulo_dorado" target="_blank"><b>rectángulo áureo</b></a>. Se ha demostrado que todo aquello que tenga proporciones aureas es agradable a la vista.<br />
– Si hay segundero, éste suele señalar los 25 o 35 segundos. Si marcara los 30 segundos dividiría la circunferencia en tres partes iguales, dando una sensación rígida y puramente matemática. Así consigue romperla.<br />
– Y estos sólo son algunos de los motivos de por qué los publicistas eligen fotografiar los relojes a las 10:08 y a las 10:10. Si te interesa este tema encontrarás más información en El Diario de un Teleco. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-59247467446706453882015-02-20T11:11:00.001-08:002016-01-16T19:33:17.309-08:00Probabilidad Clásica<div style="text-align: justify;">
La <b>probabilidad</b> (<b>P</b>), de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso (si es 0, la probabilidad es nula, y si es 1, existe un 100% de que ocurra el suceso). A mayor probabilidad, mayor será la posibilidad de que ocurra. <span class="parrafo1">La <b>probabilidad</b> de un evento es un valor que nos permite determinar qué tan posible es que un evento ocurra o no.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC5wHhHtJZODhjqOBUbxEYjqkaFRZIjrIFf-7Ih-9cMeybTcuF-l2fyn2osVddkBdeCgoRBA0IO39qIuppRD7srMzo0TJleyeBQ5nUf-OsSILIhy8_u-wXLgqIFW0dyiUdG7vfJeV3rLY/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="220" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC5wHhHtJZODhjqOBUbxEYjqkaFRZIjrIFf-7Ih-9cMeybTcuF-l2fyn2osVddkBdeCgoRBA0IO39qIuppRD7srMzo0TJleyeBQ5nUf-OsSILIhy8_u-wXLgqIFW0dyiUdG7vfJeV3rLY/s1600/Captura.PNG" width="320" /></a></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
En ciertos casos es posible que se pueda predecir el resultado de un suceso (si va a ocurrir o no). Si se puede predecir, diremos que es un fenómeno <b>determinístico</b>. En caso contrario, se trataría de un evento <b>aleatorio</b>. Por ejemplo, lanzar una moneda al aire constituye un fenómeno de tipo aleatorio, pues en este caso no se puede asegurar si saldrá cara o sello. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="parrafo1">La definición clásica de probabilidad, dada por la <b>regla de Laplace (también conocidad como</b></span><b><span class="st"> Ley de <i>Laplace</i>, regla de <i>Laplace</i>, ley de <i>probabilidades</i>, <i>probabilidad Laplace)</i></span></b><span class="parrafo1"><b></b>, se aplica si todos los resultados posibles de un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad o son equiprobables. </span></div>
<br />
<span class="parrafo1"> </span><span class="parrafo1">La probabilidad de que un evento A ocurra se anota </span>\(P(A)\)<span class="parrafo1"><span class="parrafo1"> </span> y se calcula mediante el cociente:</span><br />
<br />
<span class="parrafo1"><b>$$ P(A) = \frac{Números Casos Favorables A}{Números Casos Totales}$$</b></span><b><b></b></b><br />
<br />
<span class="parrafo1">Esto es válido, eso sí, cuando en el experimento
aleatorio todos sus resultados son equiprobables. </span><br />
<br />
<span class="parrafo1"><span style="color: #990000;"><b>Ejemplo 1:</b></span> Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire salga cara.</span><br />
<span class="parrafo1"><br /></span>
<span class="parrafo1"><i>Solución </i></span><br />
<span class="parrafo1">Casos </span>Favorables: {C}<br />
<span class="parrafo1">Casos Totales: {C, S}</span><br />
<span class="parrafo1">Por lo tanto, utilizamos la regla de Laplace o Probablidad Clásica: </span><br />
\( P(A) = \frac{1}{2}\)<br />
<span class="parrafo1"><span class="parrafo1"></span></span><br />
<span class="parrafo1"><br /></span>
<span class="parrafo1"><span style="color: #990000;"><b>Ejemplo 2:</b></span> </span><span class="parrafo1">Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan 2 cara.</span><br />
<br />
<span class="parrafo1"><i>Solución </i></span><br />
<span class="parrafo1">Casos </span>Favorables: {CC}<br />
<span class="parrafo1">Casos Totales: {CC, CS, SC, SS}</span><br />
<span class="parrafo1">Por lo tanto, utilizamos la regla de Laplace o Probablidad Clásica: </span><br />
<span class="parrafo1">\( P(A) = \frac{1}{4}\)</span><span class="parrafo1"><span class="parrafo1"></span></span><br />
<span class="parrafo1"><br /></span>
<span class="parrafo1"><span style="color: #990000;"><b>Ejemplo 3:</b></span> En una baraja española de 40 cartas, hallar la probabilidad de encontrar copas P (copas) y la probabilidad de obtener ases </span><span class="parrafo1">P (as). </span><br />
<br />
<span class="parrafo1"><i>Solución </i></span><br />
<span class="parrafo1">Casos </span>Favorables ases: {4}<br />
<span class="parrafo1">Casos Totales: {40}</span><br />
<span class="parrafo1">Por lo tanto, utilizamos la regla de Laplace o Probablidad Clásica: </span><br />
\( P(ases) = \frac{4}{40}= \frac{1}{10}\)<span class="parrafo1"></span><br />
<br />
<span class="parrafo1">Casos </span>Favorables copas: {10}<br />
<span class="parrafo1">Casos Totales: {40}</span><br />
<span class="parrafo1">Por lo tanto, utilizamos la regla de Laplace o Probablidad Clásica: </span><br />
<span class="parrafo1"></span><span class="parrafo1">\( P(copas) = \frac{10}{40}= \frac{1}{4}\) </span><br />
<br />
<span class="parrafo1"><span class="parrafo1"><span style="color: #990000;"><b>Ejemplo 4:</b></span> </span>Se lanzan dos dados al aire. Calcular la probabilidad de que el evento la suma sea siete.</span><br />
<span class="parrafo1"> </span><span class="parrafo1"><i> </i></span><br />
<span class="parrafo1"><i>Solución </i></span><br />
<span class="parrafo1">Son seis resultados, Casos </span>Favorables: {(1,6);(4,3);(5,2);(6,1);(3,4);(2,5)}<br />
<span class="parrafo1">Casos Totales: {36}</span><br />
<span class="parrafo1">Por lo tanto, utilizamos la regla de Laplace o Probablidad Clásica: </span><br />
<span class="parrafo1"></span><span class="parrafo1">\( P(sumen 7) = \frac{6}{36}= \frac{1}{6}\) </span><br />
<br />
<span class="st"></span><br />
<br />
<span class="st"><i></i></span>Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-52536806613499278992015-02-11T13:21:00.002-08:002017-09-19T19:46:29.316-07:00Ecuaciones de primer grado: Ejercicios resueltos<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzxATljhg_sbk8rtwL-m5v0AGjVAy8_ama9MgI5SGfU5lLBhYEU_WwOOVWt5jlRV1d8ZEEavTOqsc_vP7j0jkYwJQY9h_nIYqyudSn4iRuS_LSKtbzVekKJi7KoAfAuNH4mA5G-sdFlhU/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzxATljhg_sbk8rtwL-m5v0AGjVAy8_ama9MgI5SGfU5lLBhYEU_WwOOVWt5jlRV1d8ZEEavTOqsc_vP7j0jkYwJQY9h_nIYqyudSn4iRuS_LSKtbzVekKJi7KoAfAuNH4mA5G-sdFlhU/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "helvetica neue" , "arial" , "helvetica" , sans-serif;">En enseñanza básica y media, de repente resulta difícil comprender los procedimientos que se tienen para resolver una ecuación de primer grado. Aquí, les dejo algunos ejemplos sencillos para entender:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b><b><b><b> </b></b></b></b><b><b>\( 3x + 5 = 14\) </b> </b></blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b> </b>\( 3x = 14-5\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<b> </b>\( 3x = 9\) </div>
<div style="text-align: justify;">
<b> </b>\( x = 3\) </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b>\( 7x + 8 = 5 (x-2)\) </b></blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
\( 7x + 8 = 5x -10\) <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Por propiedad distributiva. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
\( 7x -5x = -8 -10\) <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Se agrupa las letras y los números.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
\( 2x = -18\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = \frac{-18}{2}\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = -9\) </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b><b>\( x + 7 -3x = 4 - 8x\) </b></b></blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b>\( x + 8x -3x = 4 - 7\) </b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b>\( 6x = 3\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = \frac{3}{6}\) <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">al simplificar por 3, nos queda:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = \frac{1}{2}\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b><b>\( 3-(x+3) =2x+1\) </b></b></blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b>\( 3-x-3 =2x+1\) </b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b>\( x =2x+1\) </b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b>\( x =2x+1\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b>\( x -2x=1\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b>\( -x=1\) </b></b></b></b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">al multiplicar la ecuación por -1.</span><br />
<b><b><b><b>\( x= -1\)</b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b><b>\( 5(2x-1)+3(x-2) =10(x+1)\) </b></b></blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b>\( 10x -5 +3x-6 =10x+10\) </b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b>\( 10x -10x+3x =10 +6 +5\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b><b><b><b><b>\( 3x =10 +6 +5\) </b></b></b></b> </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b>\( 3x =21\) </b></b></b></b> </b></b></b></b> </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = \frac{21}{3}\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b>\( x =7\) </b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
\(\frac{2x+1}{3} = \frac{x}{2}\)</blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
\(2(2x+1) = 3x\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\(4x+2 = 3x\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\(4x-3x= -2\) <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Nuevamente se debe agrupar.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
\(x= -2\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
\(\frac{2x+1}{2} +7= \frac{3x}{4}+x\)</blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
\(\frac{2x+1}{2} +\frac{14}{2}= \frac{3x}{4}+\frac{4x}{4}\) <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Se amplifica para sumar numeradores.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
\(\frac{2x+1 + 14}{2} = \frac{3x+4x}{4}\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\((2x+1 + 14)4 = (3x+4x)2\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\((2x+1 + 14)4 = (3x+4x)2\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\((2x+15)4 = (7x)2\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\(8x+60= 14x\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\(8x-14x= -60\) </div>
<div style="text-align: justify;">
\(-6x= -60\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\( x = \frac{-60}{-6}\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\(x= 10\)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><span style="font-size: small;">Ejercicios Propuestos: Encuentre el valor de la incógnita.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b>\( 1) 5x = 15\) </b></b><b><b><b><b>\( 7) 5(x-1)+3= 15\) </b></b> </b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b>\( 2) -3x = 6\) </b></b><b><b><b><b> </b></b><b><b><b><b>\( 8) 2(x-5)+3(2x-2)= 30\) </b></b></b></b> </b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b>\( 3) 4y = 28\) </b></b></b></b><b><b><b><b>\( 9) -(x-1)+(5-3x)-(6x+5)= 4\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><b><b><b><b><b><b><b>\(4) 18 = 2t\) <b><b><b><b><b><b><b><b> </b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b><b>\( 10) 20(x-1)+3= -12\) </b></b></b></b> </b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
\(5) 3 = \frac{3}{-2}x\) <b><b> </b></b><b><b><b><b>\( 11) -(x-8-3x)+4= -(5x-1)\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
\(6) \frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{5} = x+1\) <b><b> </b></b><b><b><b><b>\( 12) 3(x-1)+3= 15\) </b></b></b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVik4CPYNDyn4cA4mij5qSfe2NFlHgguhZvK28N2sbWKQaEUnqv4s42l5wM72XetzGaoACulxrxl7LrsdRiVfmhyxku2TCb98jAPuVJ-zgo8aKA0zHoj61kUsIiCROcYkXFQmw2DPH0f8/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="253" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVik4CPYNDyn4cA4mij5qSfe2NFlHgguhZvK28N2sbWKQaEUnqv4s42l5wM72XetzGaoACulxrxl7LrsdRiVfmhyxku2TCb98jAPuVJ-zgo8aKA0zHoj61kUsIiCROcYkXFQmw2DPH0f8/s1600/Captura.PNG" width="500" /></a></div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-52220926754267179712015-02-10T11:21:00.000-08:002015-02-10T11:21:53.193-08:00Validan un modelo matemático sobre la evolución de los tumores<div style="text-align: left;">
Dentro de las actividades de la nueva línea de investigación sobre 'dinámica y física del cáncer’, que el Grupo de Dinámica No Lineal, Teoría del Caos y Sistemas Complejos de la Universidad Rey Juan Carlos (URJC) (España) viene desarrollando, se ha conseguido validar un modelo formado por tres poblaciones celulares: cancerígenas, sanas y efectoras de la respuesta inmunitaria.<br /><br />Entre otras, se ha logrado generalizar la ley de dePillis-Radunskaya-Wiseman, que rige la respuesta inmunitaria celular. Los resultados de estas investigaciones han sido recientemente publicados en el Bulletin of Mathematical Biology. Los avances en las técnicas de inmunoterapia contra el cáncer también fueron, para la revista Science, el mayor hito científico del 2013.<br /><br />Los nuevos tratamientos pretenden reforzar el sistema defensivo frente a las células cancerígenas. La ley de dePillis-Radunskaya-Wiseman básicamente establece la velocidad con la que el sistema inmune destruye un tumor. Cuando una célula inmunitaria reconoce a una célula cancerígena, procede a inducir su muerte o apoptosis mediante la perforación de su membrana y la introducción de unas proteínas. Ello implica que, aún cuando las células efectoras sean muy eficaces, la geometría del tumor tiene importancia.</div>
<br />
<cite>Los modelos matemáticos ayudar a predecir la respuesta inmunitaria
celular frente a los tumores, como este de pulmón. (Foto: Ed Uthman)</cite><br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqsckaPeCaAuRbSdIE4ie8ecteFUae6Grhdo2Sy1wa2Z0Vs0LT7HduVAFuxkFt4w3LHbyQct41AAQ8VYSauAWEN04xKlCYbcEELNRuqX2exeA9mF622VrqL-juvvIo8fFf7Ox-Y0psXfk/s1600/img_24624.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqsckaPeCaAuRbSdIE4ie8ecteFUae6Grhdo2Sy1wa2Z0Vs0LT7HduVAFuxkFt4w3LHbyQct41AAQ8VYSauAWEN04xKlCYbcEELNRuqX2exeA9mF622VrqL-juvvIo8fFf7Ox-Y0psXfk/s1600/img_24624.jpg" height="265" width="400" /></a></div>
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<br /></div>
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Llegado un punto, no importa cuántas células efectoras de más haya, dado que al no estar en contacto, apenas influye. Esto hace que la función que rige la tasa de destrucción de las células cancerígenas sature, alcanzando un valor máximo. El cómo se alcance ese valor máximo dependerá también del tamaño del tumor. Pero cuando las células efectoras son ineficaces en la destrucción del tumor, no se observa saturación en la práctica, lo cual puede probarse matemáticamente.<br /><br />En los casos intermedios, la ley que mejor representa la destrucción de las células cancerígenas contiene aspectos de los dos casos extremos. El análisis del modelo matemático en el marco de la dinámica no lineal permite hacer algunas predicciones, como por ejemplo una estimación del nivel de estimulación de las células efectoras para destruir plenamente el tumor.<br /><br />Se espera que el nuevo modelo desarrollado sirva de fundamento para el desarrollo de modelos más complejos. De hecho, en la actualidad se están desarrollando modelos híbridos de autómatas celulares para mostrar que todas las hipótesis planteadas en el artículo publicado por los investigadores de la URJC en relación con esa ley son suficientes para explicarla, aunque podría haber otras. </div>
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<br /></div>
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<a href="http://noticiasdelaciencia.com/not/12429/validan-un-modelo-matematico-sobre-la-evolucion-de-los-tumores/" target="_blank">(Fuente: Universidad Rey Juan Carlos)</a></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/01330839764032798018noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-71061816986245979832014-12-11T14:06:00.000-08:002014-12-11T14:07:34.224-08:00Pixar usa las matemáticas para que te enamores de sus personajes<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqVaKXsaecpBnznSwnydjOx4-2uVqTTwC_YXmmB4VCtMO_hGxS4JY-SdI6LgD1Cgmm0htxQhSADBzpU0BlZKjh5dUpq8JqcUiZ3rBnGcfXmI1IIMgxe_9y6kVQSS5FK5KSegLgArPP6MQ/s1600/1416316343_955384_1416338248_noticia_normal.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqVaKXsaecpBnznSwnydjOx4-2uVqTTwC_YXmmB4VCtMO_hGxS4JY-SdI6LgD1Cgmm0htxQhSADBzpU0BlZKjh5dUpq8JqcUiZ3rBnGcfXmI1IIMgxe_9y6kVQSS5FK5KSegLgArPP6MQ/s1600/1416316343_955384_1416338248_noticia_normal.jpg" height="222" width="400" /></a></div>
Aunque el encanto de las películas de la casa recuerde a cuentos clásicos, son los números lo que nos seduce subliminalmente.<br />
Si uno piensa en los magos de Pixar quizá se le vengan a la cabeza sus inagotables directores o la magia que sacan de actores de sobra conocidos. O los guionistas que han elaborado esas fábulas engañosamente simples por las que no pasa el tiempo; ahí está la trlogía de Toy story como prueba. O incluso los diseñadores que han logrado que un viejo huraño como el Up acabe cayendo simpático, que el montón de metal sin capacidad de habla de Wall-E emocionara como si lo hubiera parido E.T. Pero muy poca gente piensa en los matemáticos.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='520' height='366' src='https://www.youtube.com/embed/mX0NB9IyYpU?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
En realidad, el verdadero secreto de esa magia aparentemente intangible de la casa no está en las artes, sino en las ciencias. Sin la matemática pura y dura, muchas de las historias no se hubieran contado como las conocemos ahora. Un nuevo vídeo, protagonizado por el físico clave en Pixar Tony DeRose en el portal matemático Numberphile, lo revela. La clave no está en los unos y ceros de los ordenadores de la compañía, sino en la geometría. En los millones de diminutas formas que, gracias al arte de DeRose, se esconden bajo la piel de los personajes y que son lo que les da personalidad.<br />
<br />
Para entenderlo basta con ver el vídeo en el minuto 1:30: DeRose convierte un robo en una superficie suave. En el minuto 2:45 se ve el mismo proceso en 3-D y en el 3:17, el uso que tiene en el cine. Si el proceso suena excesivamente simple –el propio presentador lo dice–, pueden someterse a la explicación que empieza en el minuto cinco con todos los números. Todo obedece a un sentido estético cimentado en los números que dictan las proporciones de cada microscópica forma.<br />
<br />
Si no pueden ver el vídeo, DeRose explica su técnica con un rombo. Su método crea puntos medios en las aristas del polígono y luego desplaza todos los puntos a la mitad de distancia del punto vecino, convirtiendo el rombo en un hexágono irregular. Repite este proceso las veces que crea necesario hasta lograr la suavidad que busca, asemejándo la forma cada vez más a un círculo. Esto es lo que hace, con una mayor complejidad, con los modelos en tres dimensiones que crean los animadores hasta darles el aspecto deseado.<br />
<br />
De la divisón matemática de Pixar salen cada año numerosos artículos sobre animación con nombres tan sugerentes como Simulación artística del cabello rizado, que explica la creación del motor gráfico que animó el pelo de la protagonista de Brave<br />
<br />
¿Y por qué es todo esto tan especial? Tony DeRose, licenciado en Física y doctorado en Ciencia Computacional por la universidad de California, es uno de las más respetadas mentes matemáticas de Pixar. TIene en su haber decenas de artículos científicos. Profesor de 1986 a 1995 en la universidad de Washington, sus escritos tocan siempre el mismo tema, el campo de los gráficos generados por ordenador. No es casualidad que, tras dejar la academia, se uniera a la división de mentes matemáticas de Pixar, donde su primera gran aportación le valió un Oscar con Geri's Game, un corto de un anciano que se reta a sí mismo al ajedrez.<br />
<br />
Y esta técnica que explica –por cierto, en el edificio bautizado con el nombre del benefactor económico de la empresa, Steve Jobs–, es la que le ha dado la fama, recopilada en un texto titulado Subdivision Surfaces in Character Animation. El texto es un clásico del mundillo y tiene su origen en el momento en el que DeRose llega al mundo de la animación: la forma más habitual de modelar superficies complejas y suaves era usando NURBS, un modelo matemático que calcula superficies curvas a partir de polígonos.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='520' height='366' src='https://www.youtube.com/embed/9IYRC7g2ICg?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
Pero, según explica el artículo de DeRose, este modelo presentaba algunos problemas. Era caro de realizar, tendía a presentar fallos en las cifras y, al animarlos, esa suavidad necesaria desaparecía. El autor ponía como ejemplo todo el trabajo manual que se requirió en Toy Story para esconder este defecto en la cara del protagonista.<br />
<br />
Ahí es donde entra su técnica. “La experiencia es extremadamente positiva”, avisa en su artículo, añadiendo que dota a los modeladores una libertad que con NURBS no tenían, “lo que reduce dramáticamente el tiempo que deben dedicar a crear y planear un modelo inicial” y facilitando su trabajo. DeRose lidera hoy la división de investigación de Pixar, que emplea a once personas, principalmente científicos computacionales.<br />
<br />
El verdadero secreto de esa magia aparentemente intangible de la casa no está en las artes, sino en las ciencias<br />
<br />
Pixar se alimenta de la pasión entre el matrimonio entre la ciencia y el arte. Sus orígenes se remontan a 1979, cuando George Lucas, tras el taquillazo de La Guerra de las Galaxias, contrató a Ed Catmull, un científico loco por la animación, para su división de gráficos por ordenador. Tras años dedicándose a desarrollar las técnicas de efectos especiales generados por ordenador para LucasFilm, Catmull decidió independizarse y fundar Pixar junto con 38 compañeros de trabajo, con Steve Jobs como principal inversor.<br />
<br />
Doctorado también en Ciencia Computacional, Catmull es un pionero en su campo, creador de varias técnicas de animación, como el efecto de profundidad conocido como z-buffer, y programas como el Renderman, con el que se hicieron los efectos de Titanic o del precuelas de La Guerra de las Galaxias. Las ecuaciones que la técnica de DeRose usa para formas complejas fueron desarrolladas por Catmull y su compañero Clark hace ya 40 años. Su segundo de a bordo fue Alvy Ray Smith, otro de esos genios de la animación con un doctorado en Ciencias Computacionales, profesor en Berkeley hasta 1974 y que acabó trabajando para Microsoft tras varios desacuerdos con el fundador de Apple.<br />
<br />
Con este bagaje no es de extrañar que Pixar tenga, desde sus inicios, esa división científica. De ella salen cada año numerosos artículos sobre animación con nombres tan sugerentes como Simulación artística del cabello rizado, que explica la creación del motor gráfico que animó el pelo de la protagonista de Brave, o Todo el mundo puede cocinar, dentro de la cocina de Ratatouille. Hay otros con títulos tan soporíferos como Problemas avanzados en el nivel de detalle o Mapeado de texturas para un mejor modelo dipolar. La cuestión es que tanto los artículos divertidos como los aburridos son los que hacen posible que los personajes de Pixar triunfen como resultado del amor entre la ciencia y el arte.<br />
<br />
<a href="http://elpais.com/elpais/2014/11/18/icon/1416316343_955384.html" target="_blank">Fuente</a><br />
<br />Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-46552012243983216112014-12-08T20:21:00.004-08:002020-10-28T09:37:38.684-07:00Demostración propiedades de Logaritmos<span style="font-size: large;"><i><b>Historia.-</b></i></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLcaIci83ZE-DPbRGSMIPzzxgGCtTnswanmvQS9A8EqQWW6fgGkC5t-sRPfIv6AbK3x6ToYF260qpHnEUyEmAlS05ttrWvAyQMSKKQ7zl_Ssp6rL1ZcRCisbwwCHQKpMyg817IGUsKAUo/s1600/NAPIER.gif" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLcaIci83ZE-DPbRGSMIPzzxgGCtTnswanmvQS9A8EqQWW6fgGkC5t-sRPfIv6AbK3x6ToYF260qpHnEUyEmAlS05ttrWvAyQMSKKQ7zl_Ssp6rL1ZcRCisbwwCHQKpMyg817IGUsKAUo/s1600/NAPIER.gif" /></a> Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta los estudios de Arquímedes referidos a la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses, Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos (mediante la utilización de las fórmulas del seno y del coseno de la suma de dos ángulos). Este recurso de cálculo sirvió probablemente de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper, en la deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Con las palabras del propio Napier: "... viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas de números muy grandes... he trabajado arduamente en resolver esos problemas..."<br />
<br />
Fue así como pasó veinte años obteniendo exponenciales de diversas funciones trigonométricas ya que se empleaban mucho en cálculos astronómicos. Este proceso hizo que llamara a esos números <b>"logaritmos"</b> (que quiere decir <b>"números proporcionados"</b>), palabra con que todavía hoy se los conoce.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler.<br />
<br />
Un admirador de Napier, Henry Briggs (quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10), en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los logaritmos:<br />
<br />
"Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía." </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Demostraciones.-</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Las propiedades de los Logaritmos se demuestran a partir de la relación que existe con la Potencia, al igual que las raíces enésimas:</div>
<br />
\( \log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\ \)<br />
<br />
(esto se lee como: logaritmo en base <b>b</b> de <b>x</b> es igual a <b>n</b>; si y sólo si <b>b</b> elevado a la <b>n</b> da por resultado a <b>x</b>) <br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>1.- El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores</b>.</span><br />
<br />
Demostraremos que \(\log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y.\)<br />
<br />
Si \(\log_a \enspace x= t.\) Por definición de logaritmo \(a^t=x .\) (1)<br />
Si \(\log_a \enspace y= z.\) Por definición de logaritmo \(a^z=y. \) (2)<br />
Multiplicando estas dos igualdades tenemos que \(:a^t \cdot a^z =x \cdot y = a^{t+z}\)<br />
Tomando logaritmos en base a a ambos lados:<br />
\(\log_a \enspace a^{t+z} =\log_a \enspace x \cdot y\)<br />
Por definición de logaritmo. \(\log_a \enspace a^{t+z}= t+z= \log_a \enspace x \cdot y\)<br />
Ahora, consideremos (1) y (2):<br />
\(\log_a \enspace \left ( x \cdot y \right ) =\log_a \enspace x + \log_a \enspace y. \)<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>2.- El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logaritmos de cada uno de los números</b></span><br />
<br />
Demostraremos que \(\log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.\)<br />
<br />
Si \(\log_a \enspace x= t.\) Por definición de logaritmo \(a^t=x. \) (3)<br />
Si \(\log_a \enspace y= z.\) Por definición de logaritmo\( a^z=y.\) (4)<br />
Dividiendo estas dos igualdades tenemos que \(:\dfrac{a^t}{a^z} =\dfrac{x}{y} = a^{t-z}\)<br />
Tomando logaritmos en base a a ambos lados:<br />
\(\log_a \enspace a^{t-z} =\log_a \enspace \dfrac{x}{y}\)<br />
Por definición de logaritmo. \(\log_a \enspace a^{t-z}= t-z= \log_a \enspace \dfrac{x}{y}\)<br />
Ahora, consideremos (3) y (4):<br />
\(\log_a \enspace \left ( \dfrac{x}{y} \right ) =\log_a \enspace x - \log_a \enspace y.\) <br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>3.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base</b></span><br />
<br />
Demostraremos que \(\log_a x^n= n \cdot \log_a x\) <br />
Se demuestra usando la primera propiedad.<br />
\(\log_a x^n=\log_a \enspace \left (x \cdot x\cdot x........x \right )\) n veces<br />
<br />
Aplicando la primera propiedad esto es igual a:<br />
\(\log_a x + \log_a x + \log_a x+ ........+\log_a x\) n veces<br />
\(n \cdot \log_a x\) <br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>4.- El logaritmo de un radical es igual al cociente en tre el logaritmo del radicando y el índice</b></span><br />
<br />
Demostraremos que \(\log_a \enspace \sqrt[n]{x}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x\)<br />
Es sencillo utilizando la propiedad de la potencia (3).<br />
Usando el radical como un exponente fraccionario y aplicando la propiedad (3) tenemos que:<br />
\(\log_a \enspace \sqrt[n]{x}=\log_a \enspace x^{\frac{1}{n}}= \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x \) <br />
<br />
Eso es todo, espero les guste esta publicación.Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com12tag:blogger.com,1999:blog-4886455260924156452.post-23118186658844331542014-12-05T12:57:00.005-08:002016-01-16T19:35:01.870-08:00El número imaginario (i)<div style="text-align: justify;">
El número imaginario no solo es imprescindible en física y matemática, sino que es verdaderamente extraño a lo usual y su aplicación es bastante abstracta. Si has visto a tu profesor escribir en el pizarrón "\(i\), \(5i\), \(7i\), \(-7i\) " y has quedado con muchas dudas, te dejo una breve explicación. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a \(\sqrt{-1}\) el nombre de \(i\) , por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que \(\sqrt{-1}\) era una especie de anfibio entre el ser y la nada. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Definitivamente, se dio a \(\sqrt{-1}\) el nombre de \(i\) por una ecuación, que es esta: </div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5dkuJYdSsWF-dYepZKLI7vLR_R8mSIjpSccFVBcVOoOdff4IiVnuVG2GEMq3Lf7mgGJLetjG-G8nm8Z9eSAnpkBEKmfY-WocVbupjwLfGfY5XWsRYN3grkGWs-36wLjddRePzF_bdPMI/s1600/numero+imaginario.PNG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5dkuJYdSsWF-dYepZKLI7vLR_R8mSIjpSccFVBcVOoOdff4IiVnuVG2GEMq3Lf7mgGJLetjG-G8nm8Z9eSAnpkBEKmfY-WocVbupjwLfGfY5XWsRYN3grkGWs-36wLjddRePzF_bdPMI/s1600/numero+imaginario.PNG" /></a>\(x^2 +1= 0 \)</div>
<div style="text-align: justify;">
\(x^2 = -1\)</div>
<div style="text-align: justify;">
\(x = \sqrt{-1}\) de esta forma, de designo \(i = \sqrt{-1}\).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Así, también surgieron propiedades, como por ejemplo, \( i^2 = -1\). Por propiedades de raíces.</div>
<br />
Del mismo modo, partiendo de:<br />
\( \sqrt{-1} = i\)<br />
Se puede obtener:<br />
\(\sqrt{-49} = \sqrt{(49)(-1)} = \sqrt{49} \, \sqrt{-1} = 7\; i\)<br />
<br />
Además, aquí al lado derecho te dejo una tabla comparativa.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Después de aprender esto, seguramente el profesor te enseñará como se construyen los números complejos, y que finalmente, te dirá que todos los números, son complejos.</div>
Leviohttp://www.blogger.com/profile/06432721164863786581noreply@blogger.com2