||||| Matemática LaTeX: Identidades Trigonométricas

viernes, 8 de agosto de 2014

Identidades Trigonométricas

Nociones de trigonometría

La integración de funciones suele incluir con frecuencia funciones compuestas por funciones trigonométricas, de modo que un pequeño estudio sobre las mismas y sus propiedades más inmediatas siempre puede ser interesante para afrontar con buen pie el cálculo integral.

Con esta entrada pretendemos hacer una pequeña introducción a la trigonometría que vamos a requerir.

Definiciones

Suponemos conocida la función periódica seno, sin, definida en toda la recta real con imagen en el intervalo [1,1].

A partir de ella nos definimos las siguientes funciones trigonométricas:
  • cosx:=sin(x+π2)   xR  (función coseno)
  • tanx:=sinxcosx   xR  (función tangente)
  • cotx:=cosxsinx   xR  (función cotangente)
  • secx:=1cosx   xR  (función secante)
  • cscx:=1sinx   xR  (función cosecante)
I denotamos sus funciones inversas como:
  • arcsin:=sin1  (función arcoseno)
  • arccos:=cos1  (función arcocoseno) 
  • arctan:=tan1  (función arcotangente)  
  • arccot:=cot1  (función arcocotangente)   
  • arcsec:=sec1  (función arcosecante)  
  • arccsc:=csc1  (función arcocosecante)   
 

Axiomas


Recordemos ahora  las siguientes expresiones básicas de la trigonometría, que tomaremos como axiomas:
      (T1). sin2x+cos2x=1   xR
      (T2). sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny   x,yR
      (T3). sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny   x,yR


Propiedades


A partir de estas tres veremos algunas propiedades sencillas de interés:

      (P1).  sin2x=2sinxcosx   xR
      
      Haciendo x=y en (T3).

      (P2).  cos2x=cos2xsin2x   xR 

      Haciendo x=y en (T3).

      (P3). cos2x =12(1+cos2x)   xR 

      Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

      cos2x=cos2xsin2x=cos2x(1cos2x)=2cos2x1 
      (P4). sin2x =12(1cos2x)   xR 
      Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

      cos2x=cos2xsin2x=(1sin2x)sin2x=12sin2x

      (P5). tan2x+1=sec2x   xR

      Basta con dividir entre cos2x  en  (T1).

      (P6). cot2x+1=csc2x   xR

      Basta con dividir entre sin2x en (T1).

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