||||| Matemática LaTeX: Identidades Trigonométricas

08 agosto 2014

Identidades Trigonométricas

Nociones de trigonometría

La integración de funciones suele incluir con frecuencia funciones compuestas por funciones trigonométricas, de modo que un pequeño estudio sobre las mismas y sus propiedades más inmediatas siempre puede ser interesante para afrontar con buen pie el cálculo integral.

Con esta entrada pretendemos hacer una pequeña introducción a la trigonometría que vamos a requerir.

Definiciones

Suponemos conocida la función periódica seno, sin, definida en toda la recta real con imagen en el intervalo [1,1].

A partir de ella nos definimos las siguientes funciones trigonométricas:
  • cosx:=sin(x+π2)   xR  (función coseno)
  • tanx:=sinxcosx   xR  (función tangente)
  • cotx:=cosxsinx   xR  (función cotangente)
  • secx:=1cosx   xR  (función secante)
  • cscx:=1sinx   xR  (función cosecante)
I denotamos sus funciones inversas como:
  • arcsin:=sin1  (función arcoseno)
  • arccos:=cos1  (función arcocoseno) 
  • arctan:=tan1  (función arcotangente)  
  • arccot:=cot1  (función arcocotangente)   
  • arcsec:=sec1  (función arcosecante)  
  • arccsc:=csc1  (función arcocosecante)   
 

Axiomas


Recordemos ahora  las siguientes expresiones básicas de la trigonometría, que tomaremos como axiomas:
      (T1). sin2x+cos2x=1   xR
      (T2). sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny   x,yR
      (T3). sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny   x,yR


Propiedades


A partir de estas tres veremos algunas propiedades sencillas de interés:

      (P1).  sin2x=2sinxcosx   xR
      
      Haciendo x=y en (T3).

      (P2).  cos2x=cos2xsin2x   xR 

      Haciendo x=y en (T3).

      (P3). cos2x =12(1+cos2x)   xR 

      Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

      cos2x=cos2xsin2x=cos2x(1cos2x)=2cos2x1 
      (P4). sin2x =12(1cos2x)   xR 
      Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

      cos2x=cos2xsin2x=(1sin2x)sin2x=12sin2x

      (P5). tan2x+1=sec2x   xR

      Basta con dividir entre cos2x  en  (T1).

      (P6). cot2x+1=csc2x   xR

      Basta con dividir entre sin2x en (T1).

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