Construcción de los Números Enteros - Algebra Moderna

El conjunto de los números enteros surge para resolver problemas que en IN no tienen solución, como por ejemplo, la ecuación  x+ b = a  cuando a < b no tiene solución en IN ya que a – b no tiene sentido en dicho conjunto.
Aquí se muestra cómo puede construirse el sistema de los enteros a partir del sistema de los números naturales. Con tal fin se forma el conjunto producto:

$$L=\mathbb{N} \times \mathbb{N} =\left\{ \left( s,m\right) :s\in \mathbb{N} ,m\in \mathbb{N} \right\}$$

No se dirá ahora, por ejemplo, (s,m) es una solución de m + x = s. Pero quede claro que se procede como si ése fuera el caso. Nótese que si  (s,m)  fuera solución de m + x = s, entonces  (s,m)  sería tambien solución de m* + x = s*, que a su vez tendria como solución (s*,m*). Esta observación sugiere la partición de L en clases de equivalencia tales que (s,m) y (s*,m*) sean elementos de la misma clase.

Relación Binaria ~

Sea la relación Binaria (~), definida para cualesquiera (s,m), (t,n) que pertenecen a L, entonces:

(s,m) ~ (t,n)   si, y sólo si    s + n = t + m

Ejemplo:
(a)   (5, 2) ~ (9,6)  pues 5 + 6 = 9 + 2
(b)   ( r, r ) ~ (8,8)   pues  r + s = s + r
(c)   (r*, r) ~ (s*,s)   pues  r* + s = s* + r
(d)   (r*, s*) ~ (r, s)   pues  r* + s =  r + s*

Entonces ~ es una relación  de equivalencia que induce en L una partición en clases de equivalencia
\(l=\left\{ \left[ s,m\right] _{)}\left[ t,p\right] ,\ldots \right\}\)  donde:

\(\left[ s,m\right]\) = \(\left\{ \left( a,b\right) :\left( a,b\right) \in L,\left( a,b\right) \sim \left( s,m\right) \right\}\)

También debemos recordar que \(\left( s,m\right) \in \left[ s,m\right]\) y que si \(\left( c,d\right) \in \left[ s,m\right]\), entonces [c,d] = [s,m]. Así, pues,

[s,m] = [t,n]  si, y solo si, (s,m) ~ (t,n)

Adición y Multipicación sobre \(l\)

La adición y la multiplicación sobre \(l\) se definirán, respectivamente por:

 (i)  [s,m] + [t,n] = [(s + t), (m + n)]
(ii)  \(\left[ s,m\right] \cdot \left[ t,n\right] =\left[ \left( s.t+m.n\right) ,\left( s\cdot n+m.t\right) \right]\)

para cualesquiera \( \left[ s,m\right] \cdot \left[ t,n\right] \in\) \(l\).