Construcción de los Números Naturales - Algebra Moderna

  Lo mas probable es que hayas quedado con algunas dudas con la  construcción de los números naturales, y es por eso que estas acá.

  En primer lugar, es necesario saber a grandes razgos quien fue Giuseppe Peano. Éste fue un matemático y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín. Nació en una granja cerca del pueblo de Spinetta cerca de Cuneo, en el Piamonte. Ingresó en la cercana Universidad de Turín en 1876. Se graduó en 1880 con honores y comenzó su carrera académica.

La pregunta es, ¿qué son los números de Peano o los postulados de Peano?.
 

Construcción según Peano.

Peano dijo:
    Existe un conjunto no vacío IN, cuyos elementos se llaman números naturales y a cada elemento m se le asocia un número s(m), llamado el siguiente o el sucesor de m, sometidos a las siguientes condiciones, son llamadas postulados de Peano o axiomas de Peano:

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
Sea el conuunto IN no vacío, tal que 

1. Postulado: 1 está en IN, el conjunto de los números naturales.
2. Postulado: Para cada  \(n\in   \mathbb{N}   \exists !  n^{\ast } \in  \mathbb{N}\)
3. Postulado: Para cada  \(n\in \mathbb{N} ,n^{\ast }\neq 1.\)
4. Postulado: Si  \(m,n\in \mathbb{N}\) y \(m^{\ast },n^{\ast }\in \mathbb{N} \Rightarrow m=n\)
5. Postulado: Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de la inducción matemática.

En otras palabras en el postulado 5 se debe cumplir 2 cosas:

(1) \(1\in K\)

(2) \(k^{\ast }\in K\) siempre que: \(k\in K\)

Nota: Hoy existe un debate entre incluir el 0 en los números naturales o no.


 Luego, aquí surgen algunas definiciones importantes.

Adición sobre IN

 La adición sobre IN se define por:

(i) n + 1 = n*  ,Para todo n pertenece en  IN.
(ii) n + m* = (n +m)* ,siempre que n + m esté definido.

Por lo tanto, se demuestra que la adicón setá regida por las leyes siguientes:
Para cualesquiera m,n,p pertenecen  a IN.

A1: Ley de clausura   n + m pertenecen a IN.
A2: Ley conmutativa  n + m = m + n
A3: Ley asociativa   m + (n + p) = (m + n) + p
A4: Ley de cancelación  Si m + n = n + p, entonces m = n

Para La Multiplicación Sobre IN.

La multiplicación se define por:
(x aquí se define por multiplicación.)

(iii) n x 1 = n
(iv) n x m* = nxm  + n

luego se demuestra que la multiplicación siguen las leyes siguientes:
(x aquí se define por multiplicación.)

M1: Ley de Clausura  nxm pertenece en IN
M2: Ley conmutativa    n x m = n x m
M3: Ley  asociativa   m x (n x p) = (m x n) x p
M4: Ley  de cancelación Si m x p = n x p,entonces  m = n

También la adición y la multipkicación siguen las leyes distributivas:
(x aquí se define por multiplicación.)

D1: m x (n + p) = m x n + m x p
D2: (n + p)  x m = n x m + p x m


La Potencia en IN.

La potencia de un número natural   r ∈ IN se define de forma inductiva mediante:

\(r^{0}=1\)
\( r^{n+1}=r\cdot r_{1}^{n}\forall n\in \mathbb{N}\)

Propiedades:

i) \(r^{n}.r^{m}=r^{n+m},\forall r,n,m\in \mathbb{N}\)
ii) \(r^{n}.t^{n}=\left( r\cdot t\right) ^{n},\forall r,t,n\in \mathbb{N}\)
iii) \(\left( r^{n}\right) ^{m}=r^{n\cdot m},\forall r,n,m\in \mathbb{N}\)

Proposición: El conjunto de los números naturales IN es un conjunto ordenado por la relación binaria
\(n\leq m\Leftrightarrow \exists a\in IN / m=n+a\)