||||| Matemática LaTeX: Demostración fórmula general ecuación cuadrática

09 agosto 2014

Demostración fórmula general ecuación cuadrática


Seguramente te has preguntado de dónde surge la fórmula general de la ecuación cuadrática:


\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Es la famosa fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma \(ax^{2} + bx + c\) igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero. En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden.

Demostración:

\(ax^{2} + bx + c=0\)

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨.

\(\frac{ax^{2}}{a} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Al simplicar, quedará así;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Luego;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\)

El siguiente paso es sumar en ambos miembros \(\frac{b^{2}}{4a^{2}}\) con el fin de completar cuandrados.

\(x^{2} + \frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} = \frac{b^{2}}{4a^{2}}- \frac{c}{a}\)

Después de amplificar las fracciones podemos representar la ecuación de la siguiente forma;

\( (x + \frac{b}{2a})^{2}=    \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}                \)

Extrayendo raíz cuadrada resulta;

\( x + \frac{b}{2a}=   \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}       \)

Luego llegamos a la fórmula que todo profesor de matemática enseña:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Traté de explicar los pasos de la forma más sencilla posible. Hay otros pasos u otros caminos que se pudo haber considerado para la demostración, pero eso ya es tarea de usted ;)
Gracias por su visita.

19 comentarios:

  1. Muy bueno, me ayudó con una tarea :)!

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  2. Que bueno, me alegra mucho. Saludos!

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  3. Gracias estuvo muy bien , mi profesor tamb la apoda ''La podoresa''

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    1. JAjajaj...tiene mucha utilidad para los problemas de ecuaciones cuadráticas.

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  4. ¿Tengo una duda, porque se le suma (b^2)/(4a^2)?¿De donde sale?

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  5. No formule bien mi pregunta, podrias explicar el proceso del trinomio cuadrado para que te salga (b^2)/(4a^2) a partir de x^2 + b/a x , por favor, lo agradecería mucho

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    1. Estimado Yesos. Bienvenido y con gusto te respondo.
      La "completación de cuadrados" es una técnica o estrategia para resolver ecuaciones de segundo grado. Recuerda que una ecuación de segundo grado debe tener la forma \(ax^{2} + bx + c=0\). Es por eso, que en esta demostración la utilizamos a modo de conveniencia matemática.
      Ademas, te dejo un enlace donde podrás hacer estudio de la completación de cuadrados, Aquí .

      Saludos cordiales...si sigues con duda, vuelve a escribirme.

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  6. Erick Cervantes25 marzo, 2019

    Muy buena explicación, breve y sencilla pero bien estructurada. Gracias!!

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  7. ufas, nunca habia visto la demostracion

    buen trabajo

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    1. Yael_Montoya, asi es. Es un trabajo de toda una tarde. Saludos!

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  8. No te doy like por que no tengo facebook , pero que explicación tan maravillosa, creo que guardare esta pagina en favoritos :)

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  9. muy interesante, pensé que sería una demostración más complicada

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  10. Es impeclable salvo que la afirmación final
    "El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado."
    es inexacta.
    La fórmula es la igualdad con los símbolos x, a, b, c, que permite calcular el valor de x dados los valores de a,b,c. El valor de x, es un número, no es una fórmula.

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  11. Hola una pregunta a partir de q sabemos que antes de la raíz puede ir un mas o un menos, osea porque se plantea con las dos opciones.

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  12. te amo Odalys Rosales

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