Ecuaciones de primer grado: Ejercicios resueltos

En  enseñanza básica y media, de repente resulta difícil comprender los procedimientos que se tienen para resolver una ecuación de primer grado. Aquí, les dejo algunos ejemplos sencillos para entender:

 \(  3x + 5 = 14\) 

 \( 3x = 14-5\)

 \( 3x = 9\)

 \( x = 3\)

\(   7x + 8 = 5 (x-2)\) 

\( 7x + 8 = 5x -10\)   Por propiedad distributiva.

\( 7x -5x = -8 -10\)    Se agrupa las letras y los números.

\( 2x = -18\) 

\( x = \frac{-18}{2}\)

 \( x = -9\)  

\(  x + 7 -3x = 4 - 8x\)

\(  x + 8x -3x = 4 - 7\) 

\(  6x = 3\) 

\( x = \frac{3}{6}\) al simplificar por 3, nos queda:

\( x = \frac{1}{2}\)

\( 3-(x+3) =2x+1\)

\(   3-x-3 =2x+1\)

\(   x =2x+1\) 

\(   x =2x+1\) 

\(   x -2x=1\)

\(  -x=1\) al multiplicar la ecuación por -1.
\(  x= -1\)

\(  5(2x-1)+3(x-2) =10(x+1)\)

\(   10x -5 +3x-6 =10x+10\) 

\(   10x -10x+3x =10 +6 +5\)  

\(   3x =10 +6 +5\)   

\(   3x =21\)    

\( x = \frac{21}{3}\)

\(   x =7\) 

\(\frac{2x+1}{3} = \frac{x}{2}\)

\(2(2x+1) = 3x\)

\(4x+2 = 3x\)

\(4x-3x= -2\) Nuevamente se debe agrupar.

\(x= -2\)

\(\frac{2x+1}{2} +7= \frac{3x}{4}+x\)

\(\frac{2x+1}{2} +\frac{14}{2}= \frac{3x}{4}+\frac{4x}{4}\)  Se amplifica para sumar numeradores.

\(\frac{2x+1 + 14}{2} = \frac{3x+4x}{4}\)

\((2x+1 + 14)4 = (3x+4x)2\)

\((2x+1 + 14)4 = (3x+4x)2\)

\((2x+15)4 = (7x)2\)

\(8x+60= 14x\)

 \(8x-14x= -60\)

 \(-6x= -60\)

\( x = \frac{-60}{-6}\)

  \(x= 10\)

Ejercicios Propuestos: Encuentre el valor de la incógnita.

\( 1) 5x = 15\)                              \( 7) 5(x-1)+3= 15\)                                                  

\( 2) -3x = 6\)                            \( 8) 2(x-5)+3(2x-2)= 30\)    

\( 3) 4y = 28\)                              \( 9) -(x-1)+(5-3x)-(6x+5)= 4\)

\(4) 18 = 2t\)                              \( 10) 20(x-1)+3= -12\)       

\(5) 3 = \frac{3}{-2}x\)                           \( 11) -(x-8-3x)+4= -(5x-1)\)

\(6) \frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{5} = x+1\)         \( 12) 3(x-1)+3= 15\)

El número imaginario (i)

El número imaginario no solo es imprescindible en física y  matemática, sino que es verdaderamente extraño a lo usual y su aplicación es bastante abstracta. Si has visto a tu profesor escribir en el pizarrón "\(i\), \(5i\), \(7i\), \(-7i\) "  y has quedado con muchas dudas, te dejo una breve explicación. 

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a \(\sqrt{-1}\) el nombre de \(i\) , por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que \(\sqrt{-1}\) era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Definitivamente, se dio a \(\sqrt{-1}\) el nombre de \(i\) por una ecuación, que es esta: 

\(x^2 +1= 0 \)

\(x^2 = -1\)

 \(x = \sqrt{-1}\)  de esta forma, de designo \(i = \sqrt{-1}\).

Así, también surgieron propiedades, como por ejemplo,  \( i^2 = -1\). Por propiedades de raíces.

Del mismo modo, partiendo de:
  \( \sqrt{-1} = i\)
Se puede obtener:
    \(\sqrt{-49} = \sqrt{(49)(-1)} = \sqrt{49} \, \sqrt{-1} = 7\; i\)

Además, aquí al lado derecho te dejo una tabla comparativa.

    Después de aprender esto, seguramente el profesor te enseñará como se construyen los números complejos, y que finalmente,  te dirá que todos los números, son complejos.

Demostración fórmula general ecuación cuadrática

Seguramente te has preguntado de dónde surge la fórmula general de la ecuación cuadrática:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Es la famosa fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma \(ax^{2} + bx + c\) igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero. En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden.

Demostración:

\(ax^{2} + bx + c=0\)

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨.

\(\frac{ax^{2}}{a} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Al simplicar, quedará así;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Luego;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\)

El siguiente paso es sumar en ambos miembros \(\frac{b^{2}}{4a^{2}}\) con el fin de completar cuandrados.

\(x^{2} + \frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} = \frac{b^{2}}{4a^{2}}- \frac{c}{a}\)

Después de amplificar las fracciones podemos representar la ecuación de la siguiente forma;

\( (x + \frac{b}{2a})^{2}=    \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}                \)

Extrayendo raíz cuadrada resulta;

\( x + \frac{b}{2a}=   \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}       \)

Luego llegamos a la fórmula que todo profesor de matemática enseña:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Traté de explicar los pasos de la forma más sencilla posible. Hay otros pasos u otros caminos que se pudo haber considerado para la demostración, pero eso ya es tarea de usted ;)

Gracias por su visita.