Análisis dominio y recorrido en una Función

La función  \( f \)  representada en el diagrama de abajo, el dominio, codominio y recorrido de la función son, respectivamente:

• \( Dom f= \lbrace 10, 20, 25 \rbrace \)
• \( Codom f= \lbrace  250, 1 000, 1 500, 1 750, 2 000 \rbrace\)
• \( Rec f= \lbrace  250, 1 000, 1 500 \rbrace \)

Además, como por ejemplo \( f(10) = 250 \), entonces \( 250 \) es la imagen
de \(10 \), o bien, \(10\) es la preimagen de \( 250 \).

Analicemos ;  \(  f(x) = \frac{6}{x - 5} \)
En este caso \( x \) no puede ser igual a \(5\), ya que la función se indefiniría. Por lo tanto, el \(dominio \) de la función es el conjunto de los números reales menos el cinco.

• \(Dom f = R– \lbrace 5 \rbrace\)

Para encontrar el \(recorrido\), una de las estrategías es convertir la función en una ecuación, donde analizaremos los valores que puede tomar \(y\) despejando \(x\).
\(  f(x) = \frac{6}{x - 5} \)
 \(  y = \frac{6}{x - 5} \)
El siguiente paso, es dejar la ecuación en función de \(y\).
\(  y = \frac{6}{x - 5} \)
\(  y  \cdot (x-5) = 6 \)
\(  y  \cdot x - y \cdot 5 = 6 \)
\(  y  \cdot x = 6 + y \cdot 5\)
 \(  x  = \frac{6  +  5 \cdot y}{y }\)

Por lo tanto, podemos ver que el valor que no puede tomar \(y\) es cero, porque la función se indefine. En este caso, el \(recorrido\) de la función son todos los reales menos el cero.

• \(Rec f = R - \lbrace 0 \rbrace\)

Si ahora analizamos la función \(f(x) = x^2 + 3\), trivialmente podemos decir que el \(dominio \) son todos los reales, porque \( x \) puede tomar cualquier valor sin indefinirse la función.

• \(Dom f = R\)

Para analizar el  \(recorrido\) , utilizamos la misma estrategía.
\(f(x) = x^2 + 3\)
\(y = x^2 + 3\)
 \(y - 3= x^2 \)    Aplicamos  \(\sqrt[]{} \)
\( \sqrt[]{y - 3} = x \)

Al analizar los valores que puede tomar \(y\),  decimos que el \(recorrido\) son todos numeros reales mayor o igual a 3.

• \(Rec f =  x \geq 3 / x  \in R \)

Veamos otra situación, \( f(x) = \sqrt[]{x + 4} \)
Aquí los valores que puede corresponder a  \( x \), son valores mayores o iguales que cuatro.
Matemáticamente decimos que el \(dominio \) se define como:

• \(Dom f =  x \geq 4 / x  \in R \)

Vamos al \(recorrido\).
\( f(x) = \sqrt[]{x + 4} \)
\( y = \sqrt[]{x + 4} \)
Al elevar al cuadrado ambos miembros tenemos com resultado:
\( y^2 = x + 4 \)
\( y^2- 4 = x \)

Los valores que puede obtener  \(y\)  son todos los reales, ya que no hay ninguna restricción para la función. Osea, el recorrido es:

• \(Rec f = R\)

El análisis del recorrido y dominio de una función también se puede hacer con su respectiva gráfica en el plano cartesiano. Se observa el comportamiento de la función y listo.
Eso es todo, espero les haya gustado.

Demostración fórmula general ecuación cuadrática

Seguramente te has preguntado de dónde surge la fórmula general de la ecuación cuadrática:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Es la famosa fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma \(ax^{2} + bx + c\) igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero. En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden.

Demostración:

\(ax^{2} + bx + c=0\)

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨.

\(\frac{ax^{2}}{a} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Al simplicar, quedará así;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\)

Luego;

\(x^{2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\)

El siguiente paso es sumar en ambos miembros \(\frac{b^{2}}{4a^{2}}\) con el fin de completar cuandrados.

\(x^{2} + \frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} = \frac{b^{2}}{4a^{2}}- \frac{c}{a}\)

Después de amplificar las fracciones podemos representar la ecuación de la siguiente forma;

\( (x + \frac{b}{2a})^{2}=    \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}                \)

Extrayendo raíz cuadrada resulta;

\( x + \frac{b}{2a}=   \frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}       \)

Luego llegamos a la fórmula que todo profesor de matemática enseña:

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Traté de explicar los pasos de la forma más sencilla posible. Hay otros pasos u otros caminos que se pudo haber considerado para la demostración, pero eso ya es tarea de usted ;)

Gracias por su visita.