Relación raíz enésima y potencia con exponente fraccionario

En este artículo buscaremos la relación que existe entre las raíces enésimas y las potencias de exponente fraccionario. Osea, demostraremos 2 propiedades:

$a^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ a}$

$a^{ \frac {m}{n}}=  \sqrt[n]{ a^{m}}$

Primero analizaremos particularidades. Sea  $36^{ \frac {1}{2}}= x$
Elevamos al cuadrado a la ecuación.
$36^{ \frac {1}{2}}= x$                $/ ( )^2$  

$(36^{ \frac {1}{2}})^2= x^2$         /   por propiedades de potencia.

$36^{ \frac {1}{2} 2}= x^2$

$36^{ 1}= x^2$                           /   por definición de raíz enésima.

$x =  \sqrt {36}$ 

Obtenemos, $\sqrt[2]{ 36} = 36^{ \frac {1}{2}}$ 

Ahora, analicemos una raíz cúbica. Sea $(-64)^{ \frac {1}{3}}= x$
Elevamos al cubo.
$(-64)^{ \frac {1}{3}}= y$                $/ ( )^3$
$((-64)^{ \frac {1}{3}})^3= y^3$         /   por propiedades de potencia.
$(-64)^{ \frac {1}{3} 3}= y^3$
$(-64)^{ 1}= y^3$                            /  por definición de raíz enésima.
$y =  \sqrt[3]{ (-64)}$
Obtenemos, $\sqrt[3]{ (-64)} = (-64)^{ \frac {1}{3}}$

En general, podemos decir que $b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}$

Demostración: $b^{ \frac {1}{n}}= \sqrt[n]{ b}$

Consideremos  $n \neq 1$ un número natural.
Elevamos  a $n$.
$b^{ \frac {1}{n}}= a$   $/ ( )^n$
$(b^{ \frac {1}{n}})^n= a^n$         /   por propiedades de potencia.
$b^{ \frac {1}{n} n}= a^n$
$b^{ 1}= a^n$                            /  por definición de raíz enésima.
$a =  \sqrt[n]{ b}$
Obtenemos, $b^{ \frac {1}{n}} = \sqrt[n]{ b}$

Demostración: $b^{ \frac {m}{n}}= \sqrt[n]{ b^{m}}$
Consideremos $n$ y $m$, números naturales. Con $n \neq 1$ y $m \neq 1$
$b^{ \frac {m}{n}}= a  \Rightarrow  (b^m)^ {\frac {1}{n}}= a \Rightarrow  \sqrt[n]{ b^{m}}= a$
Por tanto, $\sqrt[n]{ b^{m}}= b^{ \frac {m}{n}}$

Ejemplo: $\sqrt[3]{ 49}= \sqrt[3]{ 7^{2}}= 7^{ \frac {2}{3}}$