Identidades Trigonométricas

Nociones de trigonometría

La integración de funciones suele incluir con frecuencia funciones compuestas por funciones trigonométricas, de modo que un pequeño estudio sobre las mismas y sus propiedades más inmediatas siempre puede ser interesante para afrontar con buen pie el cálculo integral.

Con esta entrada pretendemos hacer una pequeña introducción a la trigonometría que vamos a requerir.

Definiciones

Suponemos conocida la función periódica seno, sin, definida en toda la recta real con imagen en el intervalo [−1,1].

A partir de ella nos definimos las siguientes funciones trigonométricas:

• cosx:=sin(x+π2)   ∀x∈R  (función coseno)
• tanx:=sinxcosx   ∀x∈R  (función tangente)
• cotx:=cosxsinx   ∀x∈R  (función cotangente)
• secx:=1cosx   ∀x∈R  (función secante)
• cscx:=1sinx   ∀x∈R  (función cosecante)

I denotamos sus funciones inversas como:

• arcsin:=sin−1  (función arcoseno)
• arccos:=cos−1  (función arcocoseno) 
• arctan:=tan−1  (función arcotangente)  
• arccot:=cot−1  (función arcocotangente)   
• arcsec:=sec−1  (función arcosecante)  
• arccsc:=csc−1  (función arcocosecante)   

 

Axiomas

Recordemos ahora  las siguientes expresiones básicas de la trigonometría, que tomaremos como axiomas:
      (T1). sin2x+cos2x=1   ∀x∈R
      (T2). sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny   ∀x,y∈R
      (T3). sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny   ∀x,y∈R

Propiedades

A partir de estas tres veremos algunas propiedades sencillas de interés:

      (P1).  sin2x=2sinx⋅cosx   ∀x∈R
      
      Haciendo x=y en (T3).

      (P2).  cos2x=cos2x−sin2x   ∀x∈R 

      Haciendo x=y en (T3).

      (P3). cos2x =12(1+cos2x)   ∀x∈R 

      Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

      cos2x=cos2x−sin2x=cos2x−(1−cos2x)=2cos2x−1 

      (P4). sin2x =12(1−cos2x)   ∀x∈R 

      Aplicando (T1) en (P2) de la siguiente manera: 

      cos2x=cos2x−sin2x=(1−sin2x)−sin2x=1−2sin2x

      (P5). tan2x+1=sec2x   ∀x∈R

      Basta con dividir entre cos2x  en  (T1).

      (P6). cot2x+1=csc2x   ∀x∈R

      Basta con dividir entre sin2x en (T1).